Пучок прямых, уравнение пучка прямых. Пучок плоскостей, уравнение пучка плоскостей Уравнение пучка плоскостей – решение задач

Прежде всего мы скажем, что плоскость

есть линейная комбинация плоскостей

если уравнение (1) есть линейная комбинация уравнений (2) и (3), т. е. если найдутся такие и , что имеет место тождество

Из тождества (4) следует, что всякая точка ), удовлетворяющая обоим уравнениям (2) и (3), удовлетворяет и уравнению (1) - всякая точка, принадлежащая обеим плоскостям (2) и (3), принадлежит и плоскости (1). Другими словами:

Плоскость, являющаяся линейной комбинацией двух данных пересекающихся плоскостей (2) и (3), проходит через прямую пересечения этих плоскостей. Докажем, что и, обратно, всякая плоскость (1), проходящая через прямую пересечения d двух данных плоскостей (2) и (3), является лннейпой комбинацией этих плоскостей.

Без ограничения общности можем предположить, что плоскость (1) не совпадает ни с одной из плоскостей (2) и (3). Доказательство совершенно такое же, как в случае прямых (гл. V, § 5).

Плоскость, проходящая через прямую d, будет полностью определена, если мы укажем какую-нибудь ее точку (рис. 122), не лежащую на прямой d.

Возьмем же такую точку на нашей плоскости (1) и напишем уравнение с двумя неизвестными и :

Так как по предположению точка не лежит на прямой d, то хотя бы одна из скобок в левой части уравнения (5) отлична от нуля; из этого уравнения (5) однозначно определяется отношение

Пусть теперь и какие-нибудь числа, удовлетворяющие пропорции (6). Тогда выполнено и равенство (5), означающее, что точка лежит на плоскости

Но эта плоскость, будучи линейной комбинацией плоскостей (2) и (3), проходит через прямую d и содержит точку , принадлежащую плоскости (-значит, плоскость (1) совпадает с плоскостью (7) и является линейной комбинацией плоскостей (2) и (3). Утверждение доказано.

Итак, для того чтобы плоскость (1) проходила через прямую пересечения двух плоскостей (2) и (3), необходимо и достаточно, чтобы уравнение (1) было линейной комбинацией уравнений (2) и (3).

Пусть теперь плоскости (2) и (3) параллельны. Совершенно так же как и в § 5 главы V, мы убеждаемся в том, что всякая плоскость, являющаяся линейной комбинацией плоскостей (2) и (3), будет им параллельна и что, обратно, всякая плоскость, параллельная двум (параллельным между собою) плоскостям (2) и (3), является их линейной комбинацией.

Назовем совокупность всех плоскостей, проходящих через данную прямую d, собственным пучком плоскостей с осью назовем несобственным пучком плоскостей совокупность всех плоскостей, параллельных (в широком смысле слова) одной какой-нибудь плоскости. Наконец, назовем множество всех плоскостей, являющихся линейными комбинациями двух каких-нибудь плоскостей и , одномерным многообразием плоскостей, порожденным двумя своими элементами и . Мы доказали, что всякий пучок плоскостей (собственный или несобственный) является одномерным многообразием, порожденным любыми двумя своими элементами.

Обратно, всякое одномерное многообразие плоскостей (порожденное какими-нибудь двумя плоскостями и 62) есть пучок плоскостей - собственный, если плоскости и 62 пересекаются, несобственный, если они параллельны.

В главе XXIII этих «Лекций» мы построим проективное пространство, пополнив обычное пространство бесконечно удаленными (несобственными) точками таким образом, что совокупность этих бесконечно удаленных точек образует бесконечно удаленную (несобственную) плоскость;

Все прямые, лежащие в этой плоскости, также будут называться бесконечно удаленными или несобственными. Каждая «собственная» (т. е. обыкновенная) плоскость пространства пересекается с несобственной плоскостью по несобственной прямой - по единственной несобственной прямой данной собственной плоскости. При этом оказывается, что две собственные плоскости тогда и только тогда параллельны, когда они пересекаются по (своей общей) бесконечно удаленной прямой. Таким образом, в проективном пространстве различие между собственными и несобственными пучками плоскостей исчезает: несобственный пучок - это пучок плоскостей, осью которого является одна из несобственных прямых проективного пространства.

Лекции по алгебре и геометрии. Семестр 1.

Лекция 14. Уравнения пучка прямых на плоскости, пучка плоскостей и связки плоскостей.

Глава 14. Уравнения пучка прямых на плоскости, пучка плоскостей и связки плоскостей.

п.1. Уравнение пучка прямых на плоскости.

Определение. Пучком прямых на плоскости называется множество всех прямых данной плоскости, имеющих одну общую точку, которая называется центром пучка.

На рис.1 точка
– центр пучка.

Теорема. Пусть

– две прямые в координатной плоскости Оху, пересекающиеся в точке
. Тогда уравнение

где
– произвольные действительные числа одновременно не равные нулю, есть уравнение пучка прямых с центром пучка в точке
.

Доказательство.

Пусть L – призвольная прямая этого пучка с центром пучка в точке
и – ее нормальный вектор. Тогда векторное уравнение прямой L имеет вид:

, (2)

где – радиус-вектор точки
, – текущий радиус-вектор, т.е. радиус-вектор текущей точки
.

Так как прямые и
по условию теоремы пересекаются, то их нормальные векторы не коллинеарные и, следовательно, образуют базис.

Тогда вектор может быть разложен по этому базису:

,

где
– кэффициенты этого разложения одновременно не равные нулю, т.к. по определению нормальный вектор
. Подставляя в (2) получаем или

Но
и
– векторные уравнения прямых и
, т.е. ,

Подставляя в (3), получаем равенство (1).

Таким образом, мы доказали, что уравнение любой прямой из данного пучка имеет вид (1).

Обратно, докажем, что при любых
, одновременно не равных нулю, уравнение (1) есть уравнение некоторой прямой из данного пучка.

Действительно, с одной стороны, при любых
, одновременно не равных нулю, уравнение (1) есть общее уравнение прямой

С другой стороны, пусть в уравнении (1)
– произвольные действительные числа, одновременно не равные нулю, и пусть
– координаты центра пучка. Так как
и
, то координаты центра пучка удовлетворяют уравнениям прямых и
:

Тогда, подставляя координаты точки
в уравнение (1), получаем

Т.е. уравнение (1) есть уравнение прямой, проходящей через точку
, а значит прямая принадлежит данному пучку, ч.т.д.

Теорема доказана.

Замечание. Если в (1)

. Если
, то уравнение (1) есть уравнение прямой . Поэтому, если уравнение (1) рахделить на
, то получим уравнение любой прямой из данного пучка, кроме прямой
:

Пример. Написать уравнение произвольной прямой, проходящей через заданную точку
.

Решение. Искомая прямая есть прямая пучка прямых с центром пучка в точке
. Очевидно, следующие две прямые принадлежат этому пучку:

и

Или
,
. Тогда уравнение любой прямой этого пучка имеет вид

Если заменить в этом уравнении греческие буквы на латинские, получаем

– уравнение прямой, проходящей через заданную точку
. В частности, при
, получаем уравнение пучка прямых с центром пучка в начале координат:
.

Разделив уравнение (5) на
, получаем уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку
:

, (6)

а при
, получаем уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через начало координат:

.

Другими словами, уравнение
, где
, есть уравнение пучка прямых с центром пучка в начале координат.

п.2. Уравнение связки плоскостей.

Определение. Связкой плоскостей называется множество всех плоскостей, имеющих одну общую точку, которая называется центром связки.

Теорема. Пусть , ,

– три плоскости в ПДСК Охуz, имеющие единственную общую точку
. Тогда уравнение , (7)

где
– произвольные действительные числа одновременно не равные нулю, есть уравнение связки плоскостей с центром связки в точке
.

Доказательство практически один к одному повторяет доказательство предыдущей теоремы об уравнении пучка прямых.

Пример. Найти уравнение связки плоскостей с центром связки в точке
.

Решение. Очевидно, что следующие три плоскости пересекаются в единственной точке
:

,
,
.

Тогда уравнение

где
и одновременно не равны нулю, есть искомое уравнение.

В частности, если
, то уравнение

(9)

есть уравнение связки плоскостей с центром связки в начале координат.

п.3. Уравнение пучка плоскостей.

Определение. Пучком плоскостей называется множество всех плоскостей пересекающихся по одной и той же прямой, называемой осью пучка.

Теорема. Пусть

– две плоскости, пересекающиеся по прямой L. Тогда уравнение

где
– произвольные действительные числа одновременно не равные нулю, есть уравнение пучка плоскостей с осью пучка L.

Доказательство аналогично доказательству теоремы об уравнении пучка прямых и предоставляется читателю.

Пример. Найти уравнение пучка плоскостей, осью которого является ось абсцисс.

Решение. Очевидно, что координатные плоскости

и
пересекаются по оси Ох.

Тогда уравнение (10) в данном случае принимает вид

. Заменив греческие буквы на латинские, получаем

, (11)

где
– произвольные действительные числа, одновременно не равные нулю. Уравнение (11) есть искомое уравнение пучка плоскостей с осью пучка Ох.

Аналогично, уравнение

, (12)

есть уравнение пучка плоскостей с осью пучка Оу, а уравнение

(13)

есть уравнение пучка плоскостей с осью пучка Оz.

п.4. Основные задачи на прямые и плоскости.

Задача 1. Найти уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
и
.

Эта задача нами уже решена, см. лекцию 11, параграф 4, задача 1:

.

Задача 2. Найти угол между двумя прямыми

и
.

Эта задача была решена в лекции 11, параграф 4:

Искомый угол равен либо углу между их направляющими векторами

или
.

Задача 3. Найти общее уравнение плоскости, если известны координаты ее нормального вектора
и координаты точки
, лежащей на данной плоскости.

Решение. Одно решение этой задачи приведено в параграфе 2, формула (8).

Это же уравнение можно получить и по другому. Общее уравнение плоскости имеет вид

где
– координаты ее нормального вектора. Осталось найти коэффициент D. С этой целью подставим в уравнение координаты точки
: , откуда .

Подставляя в уравнение получаем:

– искомое уравнение плоскости.

Задача 4. Найти уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
,
и
.

Как мы видели в задаче 3, для составления общего уравнения плоскости достаточно знать координаты ее нормального вектора и координаты любой точки, лежащей на данной плоскости.

В качестве нормального вектора плоскости можно взять векторное произведение вектора
на вектор
, а в качестве точки, лежащей на плоскости можно взять точку
. Получаем

Искомое уравнение плоскости можно получить и в другом виде. Уравнение плоскости в векторной форме имеет вид

,

.

Задача 5. Найти угол между двумя плоскостями.

Решение. Из геометрии нам известно, что двугранный угол между двумя плоскостями измеряется линейным углом (см. рис.12).

Нетрудно видеть, что линейный угол , измеряющий двугранный угол между двумя плоскостями равен углу
между нормальными векторами этих плоскостей или равен
. Здесь используется признак равенства углов со взаимно перпендикулярными сторонами.

или
.

Таким образом, задача вычисления угла между плоскостями сводится к задаче вычисления угла между векторами.

Задача 6. Найти расстояние от заданной точки
до заданной плоскости

Решение. Выберем произвольную точку
, лежащую на данной плоскости. Заметим, что если
, то начало координат лежит на плоскости и его можно взять в качестве точки
. Если же
, то в качестве такой точки можно взять точку пересечения плоскости с одной из координатных осей. Так как плоскость не может быть параллельной всем трем координатным осям, то хотя бы одна координатная ось пересекает данную плоскость.

Пусть, например,
– точка пересечения плоскости с координатной осью Ох. Здесь
, если
.

Итак, пусть точка
тем или иным способом выбрана, тогда расстояние
от заданной точки
до заданной плоскости равно модулю проекции вектора
на нормальный вектор плоскости :

.

Так как , то эту формулу можно записать в виде

. (14)

Определение. Пусть дано произвольное общее уравнение плоскости и произвольная точка пространства
. Число

называется невязкой точки
относительно плоскости .

С помощью введенного понятия невязки, формула расстояния от точки до плоскости иожет быть записана в виде:

.

Определение. Величина

(15)

называется отклонением точки
от плоскости .

Из последнего определения следует, что расстояние от точки
до плоскости равно модулю отклонения точки
от плоскости :

Из формулы (21) видно, что отклонение и невязка имеют одинаковый знак.

Замечание. Формулы (14) – (16) можно записать в другом виде. Приведем данное уравнение плоскости к нормальному виду:

и минус, в противном случае.

Теперь, формула (14) расстояния от точки до плоскости принимает вид:

– отклонение точки
от плоскости .

Задача 7. Найти расстояние от данной точки
до данной прямой
.

Решение. Задача решается аналогично предыдущей.

. Так как
, то

.

Аналогично вводятся понятия невязки точки относительно прямой и отклонения точки от прямой.

Определение. Пусть дано произвольное общее уравнение прямой
и произвольная точка плоскости
. Число

называется невязкой точки
относительно прямой L.

Определение. Величина

называется отклонением точки
от плоскости .

Если привести уравнение прямой к нормальному виду:

,

, причем знак плюс берется в случае, когда
и минус, в противном случае, то формула расстояния от точки до прямой принимает вид:

– отклонение точки
от прямой L.

Задача 8. Найти расстояние между двумя параллельными плоскостями.

Решение. 1-й способ. Найти на одной плоскости произвольную точку и найти расстояние от нее до второй плоскости, т.е. свести эту задачу к задаче 6.

2-й способ. Приведем оба уравнения параллельных плоскостей к нормальному виду:

где
и
– нормальные векторы плоскостей и
соответственно,
,
– расстояния от начала координат до плоскостей и
соответственно.

Так как нормальные векторы и направлены от начала координат к плоскости, то возможны 2 случая:

а)
. На следующем рисунке схематически изображены две параллельнве плоскости и
и их единичные нормальные векторы, отложенные от начала координат О.

Здесь,
,
– расстояния от начала координат до соответствующих плоскостей. Так как неизвестно, какая плоскость ближе к началу координат, то расстояние между плоскостями

б)
. Так как нормальные векторы и направлены от начала координат к плоскостям и противоположны,то начало координат находится между плоскостями, см. следующий рисунок.

Здесь, как и в предыдущем случае,
,
– расстояния от начала координат до соответствующих плоскостей. Отсюда следует, что расстояние между плоскостями

Задача 9. Найти расстояние между двумя параллельными прямыми.

В этой статье мы дадим определение пучка плоскостей, получим уравнение пучка плоскостей относительно заданной прямоугольной системы координат и подробно рассмотрим решения характерных задач, связанных с понятием пучка плоскостей.

Навигация по странице.

Пучок плоскостей – определение.

Из аксиом геометрии следует, что в трехмерном пространстве через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость. А из этого утверждения следует, что существует бесконечно много плоскостей, содержащих заранее заданную прямую. Обоснуем это.

Пусть нам задана прямая a . Возьмем точку М 1 , не лежащую на прямой a . Тогда через прямую a и точку М 1 мы можем провести плоскость, причем только одну. Обозначим ее . Теперь возьмем точку М 2 , не лежащую в плоскости . Через прямую a и точку М 2 проходит единственная плоскость . Если взять точку М 3 , не лежащую ни в плоскости , ни в плоскости , то можно построить плоскость , проходящую через прямую a и точку М 3 . Очевидно, этот процесс построения плоскостей, проходящих через заданную прямую a , можно продолжать бесконечно.

Так мы подошли к определению пучка плоскостей.

Определение.

Пучок плоскостей – это множество всех плоскостей в трехмерном пространстве, проходящих через одну данную прямую.

Прямую, которую содержат все плоскости пучка, называют центром этого пучка плоскостей. Таким образом, имеет место выражение «пучок плоскостей с центром a ».

Конкретный пучок плоскостей можно определить либо указав его центр, либо указав любые две плоскости этого пучка, что по сути одно и то же. С другой стороны любые две пересекающиеся плоскости задают некоторой пучок плоскостей.

Уравнение пучка плоскостей – решение задач.

Для практических целей представляет интерес не столько пучок плоскостей в его геометрическом образе сколько .

Давайте сразу ответим на логичный вопрос: «Что же такое уравнение пучка плоскостей»?

Для этого будем считать, что в трехмерном пространстве введена Oxyz и задан пучок плоскостей с помощью указания двух плоскостей и из него. Пусть плоскости отвечает общее уравнение плоскости вида , а плоскости - вида . Так вот уравнением пучка плоскостей называют уравнение, которое задает уравнения всех плоскостей этого пучка.

Возникает следующий логичный вопрос: «Какой вид имеет уравнение пучка плоскостей в прямоугольной системе координат Oxyz »?

Вид уравнения пучка плоскостей дает следующая теорема.

Теорема.

Плоскость принадлежит пучку плоскостей, который определяют две пересекающиеся плоскости и , заданные уравнениями и соответственно, тогда и только тогда, когда ее общее уравнение имеет вид , где и - произвольные действительные числа, одновременно не равные нулю (последнее условие эквивалентно неравенству ).

Доказательство.

Для доказательства достаточности нужно показать:

Перепишем уравнение в виде . Полученное уравнение является общим уравнением плоскости, если выражения и одновременно не равны нулю.

Докажем, что они действительно не обращаются в ноль одновременно методом от противного. Предположим, что . Тогда, если , то , если же , то . Полученные равенства означают, что векторы и связаны соотношениями или (при необходимости смотрите статью ), следовательно, выполняется и . Так как - нормальный вектор плоскости , - нормальный вектор плоскости , и векторы и коллинеарны, то плоскости и параллельны или совпадают (смотрите статью условие параллельности двух плоскостей). А этого быть не может, так как плоскости и задают пучок плоскостей, а, значит, пересекаются.

Итак, уравнение действительно является общим уравнением плоскости. Покажем, что плоскость, определяемая этим уравнением, проходит через линию пересечения плоскостей и .

Если это действительно так, то система уравнений вида имеет бесконечное множество решений. (Если записанная система уравнений имеет единственное решение, то плоскости, из уравнений которых составлена система, имеют единственную общую точку, следовательно, плоскость пересекает прямую, определяемую пересекающимися плоскостями и . Если записанная система уравнений не имеет решений, то не существует точки, одновременно принадлежащей всем трем плоскостям, следовательно, плоскость параллельна прямой, заданной пересекающимися плоскостями и ).

Так как первое уравнение записанной системы уравнений представляет собой линейную комбинацию второго и третьего уравнений, то оно излишне и его можно без последствий исключить из системы (об этом мы говорили в статье ). То есть, исходная система уравнений эквивалентна системе уравнений вида . А эта система имеет бесконечное множество решений, так как плоскости и имеют бесконечно много общих точек в силу того, что они пересекаются.

Достаточность доказана.

Переходим к доказательству необходимости.

Для доказательства необходимости нужно показать, что, какова бы ни была наперед заданная плоскость, проходящая через линию пересечения плоскостей и , она определяется уравнением при некоторых значениях параметров и .

Возьмем плоскость, которая проходит через точку и через линию пересечения плоскостей и (М 0 не лежит на линии пересечения этих плоскостей). Покажем, что всегда можно выбрать такие значения и параметров и , при которых координаты точки М 0 будут удовлетворять уравнению , то есть, будет справедливо равенство . Этим будет доказана достаточность.

Подставим в уравнение координаты точки М 0 : . Так как плоскости и одновременно не проходят через точку М 0 (в противном случае эти плоскости совпадали бы), то хотя бы одно из выражений или отлично от нуля. Если , то уравнение можно можно разрешить относительно параметра как и, придав параметру произвольное ненулевое значение , вычисляем . Если , то придав параметру произвольное ненулевое значение , вычисляем .

Теорема полностью доказана.

Итак, имеет вид . Оно задает все плоскости пучка. Если же взять некоторую пару значений и подставить их в уравнение пучка плоскостей, то мы получим общее уравнение одной плоскости из этого пучка.

Так как в уравнении пучка плоскостей параметры и одновременно не равны нулю, то его можно записать в виде , если , и в виде , если .

Однако эти уравнения не эквивалентны уравнению пучка плоскостей вида , так как ни при каких значениях из уравнения нельзя получить уравнение плоскости вида , а из уравнения ни при каких значениях не получить уравнение плоскости вида .

Переходим к решению примеров.

Пример.

Напишите уравнение пучка плоскостей, который в прямоугольной системе координат Oxyz задают две пересекающиеся плоскости и .

Решение.

Заданное уравнение плоскости в отрезках равносильно общему уравнению плоскости вида . Теперь мы можем записать требуемое уравнение пучка плоскостей: .

Ответ:

Пример.

Принадлежит ли плоскость пучку плоскостей с центром , ?

Решение.

Если плоскость принадлежит пучку, то прямая, являющаяся центром пучка, лежит в этой плоскости. Таким образом, можно взять две различные точки прямой и проверить, лежат ли они в плоскости . Если да, то плоскость принадлежит указанному пучку плоскостей, если нет – то не принадлежит.

Параметрические уравнения прямой в пространстве позволяют легко определить координаты точек, лежащих на ней. Возьмем два значения параметра (к примеру, и ) и вычислим координаты двух точек М 1 и М 2 прямой :

В статье рассматриваются определения пучка прямых с центром в заданной точке плоскости. Разбирается подробное решение с применением определения, рассматриваются задачи на составление уравнения пучка прямых, нахождение координат.

Пучок прямых определяется на плоскости, но не в трехмерном пространстве. Аксиома геометрии говорит о том, что если имеются две несовпадающие точки, расположенные на плоскости, то через них можно провести только одну прямую. Если на плоскости γ задается точка М 0 и M 1 , то через них можем провести прямую. Когда имеется еще одна точка М 2 , которая не лежит на прямой М 0 М 1 , тогда можно провести прямую М 0 М 2 . Если отметим точку М 3 , не принадлежащую ни одной из проведенных прямых, через нее также може провести прямую, проходящую через М 0 .

Отсюда следует, что в плоскости γ можно провести множество прямых через заданную точку. Это и привело к определению пучка прямых.

Определение 1

Заданная плоскость γ с множеством всех прямых, которые лежат в плоскости γ и проходящие через точку М 0 называют пучком прямых с центром в точке М 0 .

Исходя из определения, имеем, что любые две прямые из этого пучка пересекутся в центре данного пучка прямых. Пучок определяется при условии, если указан центр данного пучка.

Уравнение пучка прямых – решение задач

Для решения задач применяется уравнение пучка прямых, то есть сам пучок рассматривается относительно систему координат О х у на плоскости.

Когда имеем на плоскости прямоугольную систему координат О х у с указанными пересекающимися прямыми а 1 и а 2 , пучок задает эти прямые. За систему координат О х у отвечает общее уравнение прямой, которое имеет вид A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 или A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 .

Введем обозначение пересечения прямых как точка М 0 с координатами х 0 и y 0 . Отсюда следует, что точка М имеет координаты M 0 (x 0 , y 0) .

Чтобы определить вид используемого уравнения в пучках, рассмотрим на теореме.

Теорема

При заданных двух пересекающихся прямых а 1 и а 2 имеются прямые, которые входят в пучок прямых, образованных в системе координат О х у. Их уравнения имеют вид A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 тогда и только тогда, когда уравнение прямой α · (A 1 x + B 1 y + C 1 = 0) + β · (A 2 x + B 2 y + C 2) = 0 соответствует ей,a α и β являются действительными числами, неравными нулю. Данное условие записывается так: α 2 + β 2 ≠ 0 .

Доказательство

Начнем рассмотрение доказательства с рассмотрения прямой a с указанного пучка, после чего докажем, что ее можно задавать при помощи уравнения α · (A 1 x + B 1 y + C 1) + β · (A 2 x + B 2 y + C 2) = 0 .

Центр пучка возьмем за точку с координатами M 0 = (x 0 , y 0) .

Отсюда получаем, что n → = (A 1 , B 1) является нормальным вектором прямой A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 , тогда n 2 → = (A 2 , B 2) - нормальный вектор для прямой A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Получаем, что n → 1 и n 2 → - это неколлинеарные векторы, потому что у прямой а 1 и а 2 нет общих точек пересечения. Значит, необходимо разложить нормальный вектор n → по двум неколлинеарным n 1 → и n 2 → . Разложение необходимо выполнять по формуле n → = α · n 1 → + β · n 2 → . В итоге получаем, что n → = (α · A 1 + β · A 2 , α · B 1 + β · B 2) .

После вычислений получаем координаты нормального вектора прямой a , равные n → = α · A 1 + β · A 2 , α · B 1 + β · B 2 . Координаты точки, пересекающиеся с прямой a в точке M 0 (x 0 , y 0) , записываются при помощи общего уравнения прямой a . Тогда получаем выражение вида:

α · A 1 + β · A 2 · x - x 0 + α · B 1 + β · B 2 · y - y 0 = 0 ⇔ ⇔ α · (A 1 x + B 1 y - A 1 x 0 + B 1 y 0) + β · A 2 x + B 2 y - A 2 x 0 - B 2 y 0 = 0

По - A 1 x 0 - B 1 y 0 = C 1 и - A 2 x 0 - B 2 y 0 = C 2 получим общее уравнение прямой a , имеющее вид α · (A 1 x + B 1 y + C 1) + β · A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Вышесказанная необходимость доказана.

Осталось найти доказательства достаточности.

Значит, нужно произвести доказательство выражения α · (A 1 x + B 1 y + C 1) + β · A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 , где имеем α и β некоторыми действительными числами неравными нулю, существует уравнение из пучка прямых с точкой пересечения M 0 (x 0 , y 0) . Такое уравнение определено при помощи двух пересекающихся прямых A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 .

Запишем уравнение α · (A 1 x + B 1 y + C 1) + β · A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 в виде α · A 1 + β · A 2 · x + α · B 1 + β · B 2 · y + α · C 1 + β · C 2 = 0 .

Уравнение будет считаться общим, если выполняется условие, когда α · A 1 + β · A 2 и α · B 1 + β · B 2 отличны от нуля. Иначе мы получили выражение вида α · A 1 + β · A 2 = 0 ⇔ A 1 = - β α · A 2 и α · B 1 + β · B 2 = 0 ⇔ B 1 = - β α · B 2 или α · A 1 + β · A 2 = 0 ⇔ A 2 = - α β · A 1 и α · B 1 + β · B 2 = 0 ⇔ B 2 = - α β · B 1 . Это значило бы, что векторы не коллинеарны.

Это невозможно в данном случае, так как n 1 → и n 2 → - это нормальные векторы прямых а 1 и а 2 , которые пересекаются.

Имеем, что уравнение α · (A 1 x + B 1 y + C 1) + β · A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 является общим уравнением прямой. Далее необходимо произвести доказательство удовлетворения координат точки при их пересечении, то есть координаты точки M 0 (x 0 , y 0) . Докажем, справедливо ли равенство α · (A 1 x + B 1 y + C 1) + β · A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 .

M 0 (x 0 , y 0) является точкой пересечения прямых, значит, ее координаты должны удовлетворять уравнениям обеих пересекающихся прямых.

Когда A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 справедливы, отсюда следует, что α · A 1 x + B 1 y + C 1 + β · A 2 x + B 2 y + C 2 = α · 0 + β · 0 = 0 .

Что и требовалось доказать.

Можем сделать вывод, что уравнение, которое имеет вид α · A 1 x + B 1 y + C 1 + β · A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 и есть уравнение пучка.

Значения α и β необходимы для того, чтобы определять прямые, находящиеся в данном пучке, с уравнениями A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 .

Необходимо, чтобы как минимум один из параметров был не равен нулю, тогда можно упростить выражение. При условии, что α ≠ 0 получаем выражение вида A 1 x + B 1 y + C 1 + λ · A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 с λ = α β .

При β ≠ 0 выражение принимает вид μ · A 1 x + B 1 y + C 1 + A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 с μ = α β .

Они не являются эквивалентными уравнению пучка прямых, относящихся к виду α · A 1 x + B 1 y + C 1 + β · A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Уравнение A 1 x + B 1 y + C 1 + λ · A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 при любых значениях λ не даст возможности получить уравнение вида A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 .

Уравнение μ · A 1 x + B 1 y + C 1 + A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 при любых значениях μ не даст в результате A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 .

Подробно рассмотрим на решении примеров.

Пример 1

Написать уравнение прямой пучка с заданным центром в точке M 0 (- 1 , 4) , k = 3 .

Решение

Необходимо составить уравнение прямой, которая будет проходить через заданную точку с координатами M 0 (- 1 , 4) с угловым коэффициентом равным 3 . Тогда запишем уравнение прямой с угловым коэффициентом и получим y - 4 = 3 · (x - (- 1)) ⇔ y = 3 x + 7 .

Ответ: y = 3 x + 7 .

Пример 2

Найти координаты центра пучка прямых в О х у, если известны два уравнения пересекающихся прямых x - 4 2 = y + 3 0 и x 2 3 + y - 1 = 1 .

Решение

Чтобы найти координаты центра пучка, необходимо найти точки пересечения x - 4 2 = y + 3 0 и x 2 3 + y - 1 = 1 .

Получим, что каноническое уравнение прямой на плоскости x - 4 2 = y + 3 0 эквивалентно x 2 3 + y - 1 = 1 , а уравнение в отрезках x 2 3 + y - 1 = 1 общему уравнению прямой 3 2 x - y - 1 = 0 .

Теперь составляем систему уравнений, включающую в себя уравнения прямых.

Получим, что

y + 3 = 0 3 2 x - y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 3 2 x - (- 3) - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x = - 4 3

Получим, что - 4 3 , - 3 - это координаты центральной точки, где пересекаются все прямые.

Ответ: - 4 3 , - 3 .

Пример 3

Произвести составление уравнения пучка прямых в О х у, которое задано при помощи прямых 3 x - 2 y + 1 = 0 и x = - 2 + 2 · λ y = 5 · λ , имеющих общую точку пересечения.

Решение

Для начала необходимо получить общее уравнение прямой. Оно определено параметрическим уравнением x = - 2 + 2 · λ y = 5 · λ .

Отсюда следует, что

x = - 2 + 2 · λ y = 5 · λ ⇔ λ = x + 2 2 λ = y 5 ⇔ x + 2 2 = y 5 ⇔ ⇔ 5 · (x + 2) = 2 · y ⇔ 5 x - 2 y + 10 = 0

Произведем запись уравнения пучка прямых и получим α · (3 x - 2 y + 1) + β · (5 x - 2 y + 10) = 0 , а α и β являются действительными числами, где обязательным условием считается α 2 + β 2 ≠ 0 .

Ответ: α · (3 x - 2 y + 1) + β · (5 x - 2 y + 10) = 0 .

Пример 4

Написать уравнение прямой, проходящей через точку M 1 (2 , - 1) и принадлежащей пучку прямых с уравнением α · (5 x + y - 19) + β · (2 x - 3 y + 6) = 0 .

Решение

Задача решается двумя способами.

Первый способ начинается с определения М 0 , являющейся центром пересечения. Тогда нужно найти точки пересечения уравнений 5 x + y - 19 = 0 и 2 x - 3 y + 6 = 0 , а их результат и будет являться координатами для M 0 .

Определяем координаты, решив получившуюся систему:

5 x + y - 19 = 0 2 x - 3 y + 6 = 0 ⇔ y = 19 - 5 x 2 x - 3 · (19 - 5 x) + 6 = 0 ⇔ y = 19 - 5 x x = 3 ⇔ ⇔ y = 19 - 5 · 3 x = 3 ⇔ y = 4 x = 3

Значит точка М 0 имеет координаты (3 , 4) . Это записывается как M 0 (3 , 4) . Чтобы получить искомое уравнение, которое проходит через точки с координатами M 0 (3 , 4) и M 1 (2 , - 1) . В итоге получаем:

x - 3 2 - 3 = y - 4 - 1 - 4 ⇔ x - 3 - 1 = y - 4 - 5 ⇔ x - 3 1 = y - 4 5

Второй способ начинается с того, что необходимо определить параметры α и β , чтобы уравнение α · (5 x + y - 19) + β · 2 x - 3 y + 6 = 0 было уравнением прямой, которая проходит через M 1 (2 , - 1) . Для этого найдем координаты М 1 и получим, что

α · 5 · 2 + (- 1) - 19 + β · 2 · 2 - 3 · (- 1) + 6 = 0 ⇔ ⇔ - 10 · α + 13 · β = 0 ⇔ α = 13 · β 10

Принимаем значение β = 10 , при желании можно выбирать любое другое такое значение β , которое дает несложное вычисление α . Получаем α = 13 · β 10 = 13 · 10 10 = 13 .

При подстановке значений α = 13 и β = 10 в заданное уравнение пучка, преобразуем:

13 · (5 x + y - 19) + 10 · (2 x - 3 y + 6) = 0 ⇔ 85 x - 17 y - 187 = 0 ⇔ 5 x - y - 11 = 0

Необходимо проверить эквивалентность получившихся уравнений.

x - 3 1 = y - 4 5 ⇔ 5 · x - 3 = 1 · y - 4 ⇔ 5 x - y - 11 = 0

Отсюда следует, что все решено верно.

Ответ: 5 x - y - 11 = 0 .

Пример 5

Определить принадлежность прямой 3 x - y + 5 = 0 пучку прямых α · (x - 2 y + 4) + β · (x - y + 4) = 0 .

Решение

Решение производится двумя способами.

Первый способ решения начинается с нахождения центров координаты заданного уравнения пучка и их проверки:

x - 2 y + 4 = 0 x - y + 4 = 0 ⇔ x = 2 y - 4 x - y + 4 = 0 ⇔ x = 2 y - 4 2 y - 4 - y + 4 = 0 ⇔ ⇔ x = 2 y - 4 y = 0 ⇔ x = 2 · 0 - 4 y = 0 ⇔ x = - 4 y = 0 3 · (- 4) - 0 + 5 = 0 ⇔ - 7 = 0

Получим, что подстановка координат центра в уравнение прямой 3 x - y + 5 = 0 дает неверное равенство. Делаем вывод, что прямая не пересекает центр пучков, значит, и не принадлежит ему.

Второй способ начинается с раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых α · (x - 2 y + 4) + β · x - y + 4 = 0 ⇔ 2 α + β · y + 4 α + 4 β = 0 .

Когда прямая 3 x - y + 5 = 0 принадлежит пучку прямых, тогда имеются такие значения α и β , что два уравнения α + β · x - 2 α + β · y + 4 α + 4 β = 0 и 3 x - y + 5 = 0 являются эквивалентными.

Тогда получаем систему, состоящую из трех равнений α + β = 3 2 α + β = 1 4 α + 4 β = 5 .

Для ее преобразования необходимо приравнять коэффициенты перед переменными x и y и свободные членов имеющихся уравнений α + β · x - 2 α + β · y + 4 α + 4 β = 0 и 3 x - y + 5 = 0 , чтобы получать результат решения.

Для проверки необходимо применить теорему Кронекера-Капелли.

Для этого необходимо записать основную и расширенную матрицы для составленной системы уравнений. Получим, что A = 1 1 2 1 4 4 и T = 1 1 3 2 1 1 4 4 5 .

Результат нахождения ранга расширенной матрицы равняется 3 , потому как 1 1 3 2 1 1 4 4 5 = 7 ≠ 0 .

Отсюда имеем, что система уравнений α + β = 3 2 α + β = 1 4 α + 4 β = 5 не определена, то есть имеет решений. Так как решения отсутствуют, прямая не проходит через центр прямой имеющихся пучков прямых.

Ответ: нет, прямая 3 x - y + 5 = 0 не принадлежит заданному пучку прямых, записанных уравнением вида α · (x - 2 y + 4) + β · (x - y + 4) = 0 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter