Формула симпсона перемножение эпюр – Определение перемещений. Метод О

Очевидно, что разнообразие приложенных нагрузок и геометрических схем конструкций приводит к различным, с точки зрения геометрии, перемножаемым эпюрам. Для реализации правила Верещагина нужно знать площади геометрических фигур и координаты их центров тяжести. На рис.29 представлены некоторые основные варианты, возникающие в практических расчетах.

Для перемножения эпюр сложной формы их необходимо разбивать на простейшие. Например, для перемножения двух эпюр, имеющих вид трапеции, нужно одну из них разбить на треугольник и прямоугольник, умножить площадь каждого из них на ординату второй эпюры, расположенную под соответствующим центром тяжести, и результаты сложить. Аналогично поступают и для умножения криволинейной трапеции на любую линейную эпюру.

Если указанные выше действия проделать в общем виде, то получим для таких сложных случаев формулы, удобные для использования в практических расчетах (рис.30). Так, результат перемножения двух трапеций (рис.30,а):

Рис. 29

По формуле (2.21) можно перемножить и эпюры, имеющих вид "перекрученных" трапеций (рис.30,б), но при этом произведение ординат, расположенных по разные стороны от осей эпюр, учитывается со знаком минус.

Если одна из перемножаемых эпюр очерчена по квадратной параболе (что соответствует нагружению равномерно распределенной нагрузкой), то для перемножения со второй (обязательно линейной) эпюрой ее рассматривают как сумму (рис.30,в) или разность (рис.30,г) трапециидальной и параболической эпюр. Результат перемножения в обоих случаях определяется формулой:

(2.22)

но значение f при этом определяется по-разному (рис. 30, в, г).

Рис. 30

Возможны случаи, когда ни одна из перемножаемых эпюр не является прямолинейной, но хотя бы одна из них ограничена ломаными прямыми линиями. Для перемножения таких эпюр их предварительно разбивают на участки, в пределах каждого из которых по крайней мере одна эпюра являетя прямолинейной.

Рассмотрим использование правила Верещагина на конкретных примерах.

Пример 15. Определить прогиб в середине пролета и угол поворота левого опорного сечения балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой (рис.31,а), способом Верещагина.

Последовательность расчета способом Верещагина – такая же, как и в методе Мора, поэтому рассмотрим три состояния балки: грузовое – при действии распределенной нагрузки q; ему соответствует эпюра M q (рис.31,б), и два единичных состояния - при действии силы
приложенной в точке С (эпюра
, рис.31,в), и момента
, приложенного в точке В (эпюра
, рис.31,г).

Прогиб балки в середине пролета:

Аналогичный результат был получен ранее методом Мора (см. пример 13). Следует обратить внимание на тот факт, что перемножение эпюр выполнялось для половины балки, а затем, в силу симметрии, результат удваивался. Если же площадь всей эпюры M q умножить на расположенную под ее центром тяжести ординату эпюры
(
на рис.31,в), то величина перемещения будет совершенно иной и неправильной так как эпюра
ограничена ломаной линией. На недопустимость такого подхода уже указывалось выше.

А при вычислении угла поворота сечения в точке В можно площадь эпюры M q умножить на расположенную под ее центром тяжести ординату эпюры
(
, рис.31,г), так как эпюра
ограничена прямой линией:

Этот результат также совпадает с результатом, полученным ранее методом Мора (см. пример 13).

Рис. 31

Пример 16. Определить горизонтальное и вертикальное перемещения точки А в раме (рис.32,а).

Как и в предыдущем примере, для решения задачи необходимо рассмотреть три состояния рамы: грузовое и два единичных. Эпюра моментов M F , соответствующая первому состоянию, представлена на рис.32,б. Для вычисления горизонтального перемещения прикладываем в точке А по направлению искомого перемещения (т.е. горизонтально) силу
, а для вычисления вертикального перемещения силу
прикладываем вертикально (рис.32,в,д). Соответствующие эпюры
и
показаны на рис.32,г,е.

Горизонтальное перемещение точки А:

При вычислении
на участке АВ трапеция (эпюра M F) разбита на треугольник и прямоугольник, после чего треугольник с эпюры
"умножен" на каждую из этих фигур. На участке ВС криволинейная трапеция разделена на криволинейный треугольник и прямоугольник, а для перемножения эпюр на участке СД использована формула (2.21).

Знак " - ", полученный при вычислении
, означает, что точка А перемещается по горизонтали не влево (в этом направлении приложена сила
), а вправо.

Здесь знак " - " означает, что точка А перемещается вниз, а не вверх.

Отметим, что единичные эпюры моментов, построенные от силы
, имеют размерность длины, а единичные эпюры моментов построенные от момента
, являются безразмерными.

Пример 17. Определить вертикальное перемещение точки А плоско-пространственной системы (рис.33,а).

Рис.23

Как известно (см. гл.1), в поперечных сечениях стержней плоско-пространственной системы возникают три внутренних силовых фактора: поперечная сила Q y , изгибающий момент M x и крутящий момент M кр. Так как влияние поперечной силы на величину перемещения незначительно (см. пример 14, рис.27), то при вычислении перемещения методом Мора и Верещагина из шести слагаемых остаются только два.

Для решения задачи построим эпюры изгибающих моментов M x,q и крутящих моментов М кр,q от внешней нагрузки (рис.33,б), а затем в точке А приложим силу
по направлению искомого перемещения, т.е. вертикального (рис.33,в), и построим единичные эпюры изгибающих моментов
и крутящих моментов
(рис.33,г). Стрелками на эпюрах крутящих моментов показаны направления закручивания соответствующих участков плоско-пространственной системы.

Вертикальное перемещение точки А:

При перемножении эпюр крутящих моментов произведение берется со знаком "+", если стрелки, указывающие направление кручения, сонаправленны, и со знаком " - " – в противном случае.

Для балок и стержневых систем, состоящих из прямых стержней, внутренние усилия единичных состояний N k , M k и Q k являются линейными функциями или на всем протяжении каждого стержня, или на его отдельных участках. Внутренние усилия грузового состояния Np, М Р и Q P могут иметь произвольные законы изменения по длине стержней. Если балки и стержни имеют при этом постоянные или ступенчато-постоянные жесткости EF, EJ и GF, то вычисление интегралов в формуле Мора может быть произведено с помощью эпюр внутренних усилий.

Рассмотрим, например, эпюры изгибающих моментов М Р и М к в прямом стержне постоянной жесткости (рис. 8.31). Грузовая эпюра М Р является произвольной, а единичная эпюра М к - линейной. Начало отсчета координат поместим в точке пересечения линии эпюры М к с осью Ох. При этом изгибающий момент М к изменяется по закону М к = xtga. Вынося постоянную величину tga/ЕУв формуле (8.22) из-под знака интеграла и производя интегрирование по длине стержня, получим

Величина M P dx = dQ. P является элементом площади грузовой эпюры М р. При этом сам интеграл можно рассматривать как статический момент площади эпюры М Р относительно оси Оу, который равен

где Q. p - площадь эпюры х с - абсцисса ее центра тяжести. Учитывая, что x c tga = у с, получаем окончательный результат:

где у с - ордината в линейной эпюре М к под центром тяжести площади криволинейной эпюры М р (рис. 8.31).

Способ вычисления интегралов в формуле Мора с помощью формулы (8.23) называется правилом Верещагина или правилом «перемножения» эпюр. Согласно формуле (8.23) результат «перемножения» двух эпюр равен произведению площади нелинейной эпюры на ординату под ее центром тяжести в линейной эпюре. Если обе эпюры на рассматриваемом участке являются линейными, то при «перемножении» можно брать площадь любой из них. Результат «перемножения» однозначных эпюр является положительным, а разнозначных - отрицательным.

Результат «перемножения» двух трапеций (рис. 8.32) можно представить в виде следующей формулы:

При использовании правила Верещагина сложные эпюры надо разбить на простые фигуры, у которых известны площадь и положение центра тяжести. Чаще всего элементами разбиения являются треугольники и квадратные параболы (в случае действия равномерно распределенных нагрузок). Примеры разбиения эпюр приведены на рис. 8.33.

Однозначные или разнозначные трапеции можно разбить на два треугольника (рис. 8.33, а). Квадратная парабола с ординатами а и b в начале и конце участка разбивается на два однозначных или разнозначных треугольника и квадратную параболу с нулевыми начальным и конечным значениями (рис. 8.33, б). Ее площадь определяется по формуле

где q - интенсивность равномерно распределенной нагрузки.

Правило Верещагина нельзя применять в случае, когда обе эпюры являются нелинейными (например, для стержней с криволинейной осью), а также для стержней с переменной жесткостью EJ. В этом случае при определении перемещений методом Мора производится аналитическое или численное вычисление интегралов в формуле (8.20).

Пример 8.7. Для консольной балки постоянной жесткости EJ= const (рис. 8.34, а ) определим прогиб в сечении В и угол поворота сечения С.

Построим эпюру изгибающих моментов М Р от действия заданных нагрузок (рис. 8.34, б). Для определения искомых перемещений приложим в сечении В единичную силу Р = 1, в сечении С - единичный момент М = 1 и построим единичные эпюры М, и М 2 (рис. 8.34, в, г). Грузовую эпюру М р на втором участке разобьем на треугольник и квадратную параболу.

«Перемножим» грузовую и единичные эпюры между собой с помощью правила Верещагина. При «перемножении» эпюр М р и М х на первом участве используем формулу (8.24). В результате вычислений получим:

Направления перемещений совпадают с направлениями действия единичных нагрузок. Прогиб балки в сечении В происходит вниз, а сечение С поворачивается по ходу часовой стрелки.

Пример 8.8. Для шарнирно опертой балки постоянной жесткости (рис. 8.35, а) определим прогиб в сечении Си угол поворота сечения В.

Грузовая эпюра М р приведена на рис. 8.35, б. Приложим в сечении С единичную силу, в сечении В - единичный момент и построим единичные эпюры М х и М 2 (рис. 8.35, в, г). «Перемножив» грузовую эпюру М р с единичными эпюрами, найдем искомые перемещения:

При «перемножении» эпюр на втором участке использована формула (8.24). Сечение В

Пример 8.9. Для шарнирно опертой балки с консолью постоянной жесткости (рис. 8.36, а) определим прогиб в сечении С и угол поворота сечения D.

Определим опорные реакции от действия заданных нагрузок:

Построим грузовую эпюру М р (рис. 8.36, б). Соответствующие единичные эпюры приведены jHa рис. 8.36, в , г. «Перемножая» эпюру М Р с эпюрами М х и М 2 , найдем искомые перемещения:

Сечение С перемещается вверх, сечение D поворачивается против хода часовой стрелки.

Пример 8.10. Для балки ступенчато-постоянной жесткости с промежуточным шарниром (рис. 8.37, а) определим взаимный угол поворота и прогиб в сечении В.

Разобьем балку на несущую и несомую части (рис. 8.37, б) и определим опорные реакции для балки ЛВ

Грузовая эпюра М р и соответствующие единичные эпюры приведены на рис. 8.37, в , г, д. Отметим, что для определения взаимного угла поворота сечений в промежуточном шарнире приложен парный единичный момент (слева и справа от шарнира).

«Перемножая» эпюру М Р с единичными эпюрами и учитывая ступенчатое изменение жесткости на участках АВ и ВС, найдем:

Пример 8.11. Для консольной рамы со стержнями различной жесткости (рис. 8.38, я) определим вертикальное и горизонтальное перемещения точки С и угол поворота сечения В.

Эпюра МрОТ внешней нагрузки показана на рис. 8.38, б. Влияние продольных и поперечных сил при определении перемещений не учитываем.

Эпюры М х, М 2 и М 3 от единичных сил и момента, приложенных в сечениях С и В, показаны на рис. 8.38, в, г, д. «Перемножая» грузовую эпюру М р с единичными эпюрами в пределах длины каждого стержня, определим искомые перемещения:

Поворот сечения В происходит против хода часовой стрелки. Горизонтальное перемещение точки С равно нулю.

Пример 8.12. Для шарнирно опертой рамы со стержнями различной жесткости (рис. 8.39, а) определим вертикальное перемещение точки С и горизонтальное перемещение точки В.

Определим опорные реакции:

Грузовая и соответствующие единичные эпюры приведены на рис. 8.39, б, в, г. «Перемножив» эпюры в пределах длины каждого стержня, найдем:

В заключение приведем значения прогибов и углов поворота для консольных и шарнирно опертых балок при простых нагрузках.

Существует несколько способов (методов) определения перемещений при изгибе: метод начальных параметров; энергетический метод; метод Мора и способ Верещагина. Графо- аналитический способ Верещагина по сути является частным случаем метода Мора при решении сравнительно простых задач, поэтому его еще называют способом Мора – Верещагина. Ввиду краткости нашего курса рассмотрим только этот способ.

Запишем формулу Верещагина

y = (1/EJ)*ω г *М 1г, (1.14)

где y – перемещение в интересующем сечении;

E – модуль упругости; J – осевой момент инерции;

Рис.1.21

EJ – жесткостьбалки на изгиб; ω г – площадь грузовой эпюры моментов; М 1г – момент, снятый с единичной эпюры под центром тяжести грузовой.

В качестве примера, определим прогиб консольной балки под действием силы, приложенной на свободном конце балки.

Построим грузовую эпюру моментов.

М(z) = - F* z. 0 ≤ z ≤ l.

М(0) = 0. М(l) = - F* l.

ω г – площадь грузовой эпюры, то есть площадь полученного треугольника.

ω г = - F* l* l/2 = - F* l 2 /2.

М 1г – можно получить только с единичной эпюры.

Правило построения единичной эпюры:

1) с балки убираются все внешние силы;

2) в интересующем сечении прикладывают единичную силу (безразмерную) по направлению предполагаемого перемещения;

3) строят эпюру от этой единичной силы.

Центр тяжести прямоугольного треугольника лежит на 2/3 с вершины. Из центра тяжести грузовой эпюры спускаемся на единичную эпюру и отмечаем М 1г. Из подобия треугольников можно записать

М 1г /(- 1*l) = 2/3 l/ l, отсюда М 1г = - 2/3 l.

Подставим полученные результаты в формулу (1.14).

y = (1/EJ)*ω г *М 1г = (1/EJ)*(- F* l 2 /2)*(- 2/3 l) = F*l 3 /3EJ.

Расчет перемещений проводится после прочностного расчета, поэтому все необходимые данные известны. Подставив численные значения параметров в полученную формулу, Вы найдете перемещение балки в мм .

Рассмотрим еще одну задачу.

Предположим, Вы решили из круглого стержня сделать перекладину длиной 1,5 м для занятий гимнастикой. Необходимо подобрать диаметр стержня. Кроме того, Вы хотите знать, на сколько этот стержень прогнется под вашим весом.

Дано :

F = 800 Н (≈ 80кг); Сталь 20Х13 (нержавейка), имеющая σ в = 647 МПа;

E = 8*10 4 МПа; l = 1,5 м; a = 0,7 м; b = 0,8 м.

Условия работы конструкции повышенной опасности (Вы сами крутитесь на перекладине), принимаем n = 5.

Соответственно

[σ] = σ в / n = 647/5 = 130 МПа.

Рис.1.22

Решение :

Расчетная схема показана на рис.1.22.

Определим реакции опор.

∑M В = 0. R А *l – F*b = 0.

R А = F*b/l = 800*0,8/1,5 = 427 Н.

∑M А = 0. R В *l – F*a = 0.

R В = F*a/l = 800*0,7/1,5 = 373 Н.

Проверка

∑F Y = 0. R А + R В – F = 427 + 373 - 800 = 0.

Реакции найдены правильно.

Построим эпюру изгибающих моментов

(это и будет грузовая эпюра).

М(z 1) = R А * z 1. 0 ≤ z 1 ≤ a.

М(0) = 0. М(a) = R А * a = 427*0,7 = 299 Н*м.

М(z 2) = R А *(a + z 2) – F* z 2. 0 ≤ z 2 ≤ b.

М(0) = R А * a = 427*0,7 = 299 Н*м.

М(b)=R А *(a +b) – F* b = 427*1,5 – 800* 0,8 = 0.

Из условия прочности запишем

Wх ≥ Мг/[σ] = 299*10 3 / 130 = 2300 мм 3 .

Для круглого сечения Wх = 0,1 d 3 , отсюда

d ≥ 3 √10 Wх = 3 √ 23000 = 28,4 мм ≈ 30 мм.

Определим прогиб стержня.

Расчетная схема и единичная эпюра показаны на рис.1.22.

Воспользовавшись принципом независимости действия сил и, соответственно, независимости перемещений, запишем

y = y 1 + y 2

y 1 = (1/EJ)*ω г 1 *М 1г 1 = (1/EJ)* F* a 2 * b/(2*l)* 2*a* b /(3*l) =

F* a 3 * b 2 /(3* EJ* l 2) = 800*700 3 *800 2 /(3*8*10 4 *0,05*30 4 *1500 2) = 8 мм.

y 2 = (1/EJ)*ω г 2 *М 1г 2 = (1/EJ)* F* a* b 2 /(2*l)* 2*a* b /(3*l) = F* a 2 * b 3 /(3* EJ* l 2)

= 800*700 2 *800 3 /(3*8*10 4 *0,05*30 4 *1500 2) = 9 мм.

y = y 1 + y 2 = 8 + 9 = 17 мм.

При более сложных расчетных схемах эпюры моментов приходится разделять на большее количество частей или аппроксимировать треугольниками и прямоугольниками. В результате решение сводится к сумме решений, аналогичных приведенным выше.

Определение перемещений. Метод О. Мора в сочетании со способом (формулой) Симпсона

Для определения любого перемещения (линейного или углового) в методе Мора балка рассматривается в двух состояниях: действительном и вспомогательном. Вспомогательное состояние получается следующим образом: сначала всю заданную нагрузку нужно удалить, затем приложить «единичный силовой фактор» в том месте, где требуется определить перемещение , и по направлению этого искомого перемещения. Причем, когда определяем линейное перемещение (прогиб балки), то в качестве «единичного силового фактора» принимается сосредоточенная сила , а если требуется найти угол поворота , то приложить следует сосредоточенную пару.

Далее в одном и том же произвольном сечении обоих состояний (то есть и действительного, и вспомогательного) составляются аналитические выражения изгибающего момента, которые подставляются в формулу, называемую «интегралом Мора»:

где: знак Σ распространяется на все участки балки,

а EI – изгибная жесткость на участке.

Во многих случаях интегрирования по Мору можно избежать и применить способ «перемножения» эпюр . Одним из таких способов является способ Симпсона, по которому значение интеграла Мора на участке длиной ℓ вычисляется по следующей формуле:

Здесь обозначено: a , b и с – соответственно крайние и средняя ординаты эпюры изгибающих моментов действительного состояния М ,

– крайние и средняя ординаты эпюры изгибающих моментов, но только вспомогательного состояния.

Правило знаков: если обе «перемножаемые» ординаты в двух эпюрах расположены по одну сторону от оси эпюры (то есть они одного знака ), то перед их произведением мы должны поставить знак «плюс : а если они по разные стороны от оси эпюры, то перед произведением ставим знак «минус».

Следует иметь в виду, что способы «перемножения» эпюр (кроме способа Симпсона известен еще способ Верещагина ) применимы только при наличии двух условий:

1. Изгибная жесткость балки на рассматриваемом участке должна быть постоянной (EI = Const ),
2. Одна из двух эпюр моментов на этом участке должна быть обязательно линейной . При этом обе эпюры не должны в пределах данного участка иметь перелома.

При наличии нескольких участков на балке, удовлетворяющих указанным двум условиям, формула для определения перемещений принимает вид:

Если результат вычисления получается положительным , то, следовательно, направление искомого перемещения совпадает с направлением «единичного силового фактора» (), а если результат отрицательный, значит искомое перемещение происходит в направлении, противоположном этому фактору.

Формула Симпсона, записанная через моменты , выглядит следующим образом: перемещения (прогиб или угол поворота) равны

где li – длина участка ;

EIi – жесткость балки на участке;

M F – значения изгибающих моментов с грузовой эпюры , соответственно участка;

– значения изгибающих моментов с единичной эпюры, соответственно в начале, в середине и в конце участка.

При перемножении эпюр будет полезным для определения ординат эпюр изгибающих моментов:

, где

Задача

Определить угол поворота сечения на левой опоре φ А

1) Находим опорные реакции действительного состояния .

2) Строим эпюру моментов действительного состояния М .

3) Выбираем вспомогательное состояние для определения угла поворота φ А.

4) Находим опорные реакции вспомогательного состояния

«Реагируем» на знак «минус».

5) Строим эпюру моментов вспомогательного состояния :

6) «Перемножаем» эпюры

Поскольку одна из них (а именно) линейна на всем пролете и не имеет перелома, а эпюра М тоже без перелома, то в формуле Симпсона будет всего один участок, и тогда

Знак «плюс» говорит о том, что сечение А поворачивается в сторону «единичного момента»

prosopromat.ru

Формула Симпсона для определения перемещений

Для определения перемещения по формуле Симпсона необходимо:

1. Построить грузовую эпюру моментов (эпюру моментов от действия всех внешних нагрузок).
2. Построить единичную эпюру моментов. Для этого в сечении, где нужно определить линейное перемещение (прогиб) приложить единичную силу, а для определения углового перемещения - единичный момент, и от данного единичного фактора построить эпюру изгибающих моментов.
3. Перемножить эпюры (грузовую и единичную) по формуле, которая называется формулой Симпсона:

где l i – длина участка ;

EI i – жесткость балки на участке ;

грузовой эпюры, соответственно

– значения изгибающих моментов с единичной эпюры, соответственно

Если ординаты эпюр расположены с одной стороны от оси балки, то при перемножении учитывается знак «+», если с разных, то знак «-».

prosopromat.ru

2.8 Основные варианты перемножения эпюр

Очевидно, что разнообразие приложенных
нагрузок и геометрических схем
конструкций приводит к различным, с
точки зрения геометрии, перемножаемым
эпюрам. Для реализации правила Верещагина
нужно знать площади геометрических
фигур и координаты их центров тяжести.
На рис.29 представлены некоторые основные
варианты, возникающие в практических
расчетах.

Для перемножения эпюр сложной формы
их необходимо разбивать на простейшие.
Например, для перемножения двух эпюр,
имеющих вид трапеции, нужно одну из них
разбить на треугольник и прямоугольник,
умножить площадь каждого из них на
ординату второй эпюры, расположенную
под соответствующим центром тяжести,
и результаты сложить. Аналогично
поступают и для умножения криволинейной
трапеции на любую линейную эпюру.

Если указанные выше действия проделать
в общем виде, то получим для таких
сложных случаев формулы, удобные для
использования в практических расчетах
(рис.30). Так, результат перемножения
двух трапеций (рис.30,а):

Рис. 29

По формуле (2.21) можно перемножить и
эпюры, имеющих вид “перекрученных”
трапеций (рис.30,б), но при этом произведение
ординат, расположенных по разные стороны
от осей эпюр, учитывается со знаком
минус.

Если одна из перемножаемых эпюр очерчена
по квадратной параболе (что соответствует
нагружению равномерно распределенной
нагрузкой), то для перемножения со
второй (обязательно линейной) эпюрой
ее рассматривают как сумму (рис.30,в) или
разность (рис.30,г) трапециидальной и
параболической эпюр. Результат
перемножения в обоих случаях определяется
формулой:

но значение f при этом определяется
по-разному (рис. 30, в, г).

Рис. 30

Возможны случаи, когда ни одна из
перемножаемых эпюр не является
прямолинейной, но хотя бы одна из них
ограничена ломаными прямыми линиями.
Для перемножения таких эпюр их
предварительно разбивают на участки,
в пределах каждого из которых по крайней
мере одна эпюра являетя прямолинейной.

Рассмотрим использование правила
Верещагина на конкретных примерах.

Пример 15. Определить прогиб в
середине пролета и угол поворота левого
опорного сечения балки, нагруженной
равномерно распределенной нагрузкой
(рис.31,а), способом Верещагина.

Последовательность расчета способом
Верещагина – такая же, как и в методе
Мора, поэтому рассмотрим три состояния
балки: грузовое – при действии
распределенной нагрузки q; ему
соответствует эпюра M q (рис.31,б),
и два единичных состояния – при действии
силы
приложенной в точке С (эпюра
,
рис.31,в), и момента
,
приложенного в точке В (эпюра
,
рис.31,г).

Прогиб балки в середине пролета:

Аналогичный результат был получен
ранее методом Мора (см. пример 13). Следует
обратить внимание на тот факт, что
перемножение эпюр выполнялось для
половины балки, а затем, в силу симметрии,
результат удваивался. Если же площадь
всей эпюры M q умножить на
расположенную под ее центром тяжести
ординату эпюры
(
на
рис.31,в), то величина перемещения будет
совершенно иной и неправильной так как
эпюра
ограничена ломаной линией. На
недопустимость такого подхода уже
указывалось выше.

А при вычислении угла поворота сечения
в точке В можно площадь эпюры M q умножить на расположенную под ее центром
тяжести ординату эпюры
(
,
рис.31,г), так как эпюра
ограничена прямой линией:

Этот результат также совпадает с
результатом, полученным ранее методом
Мора (см. пример 13).

Рис. 31

Пример 16. Определить горизонтальное
и вертикальное перемещения точки А в
раме (рис.32,а).

Как и в предыдущем примере, для решения
задачи необходимо рассмотреть три
состояния рамы: грузовое и два единичных.
Эпюра моментов M F , соответствующая
первому состоянию, представлена на
рис.32,б. Для вычисления горизонтального
перемещения прикладываем в точке А по
направлению искомого перемещения (т.е.
горизонтально) силу
,
а для вычисления вертикального
перемещения силу
прикладываем вертикально (рис.32,в,д).
Соответствующие эпюры
и
показаны на рис.32,г,е.

Горизонтальное перемещение точки А:

При вычислении

на участке АВ трапеция (эпюра M F)
разбита на треугольник и прямоугольник,
после чего треугольник с эпюры
“умножен”
на каждую из этих фигур. На участке ВС
криволинейная трапеция разделена на
криволинейный треугольник и прямоугольник,
а для перемножения эпюр на участке СД
использована формула (2.21).

Знак ” – “, полученный при вычислении

,
означает, что точка А перемещается по
горизонтали не влево (в этом направлении
приложена сила
),
а вправо.

Здесь знак ” – ” означает, что точка
А перемещается вниз, а не вверх.

Отметим, что единичные эпюры моментов,
построенные от силы

,
имеют размерность длины, а единичные
эпюры моментов построенные от момента
,
являются безразмерными.

Пример 17. Определить вертикальное
перемещение точки А плоско-пространственной
системы (рис.33,а).

Рис.23

Как известно (см. гл.1), в поперечных
сечениях стержней плоско-пространственной
системы возникают три внутренних
силовых фактора: поперечная сила Q y ,
изгибающий момент M x и крутящий
момент M кр. Так как влияние
поперечной силы на величину перемещения
незначительно (см. пример 14,
рис.27), то при вычислении перемещения
методом Мора и Верещагина из шести
слагаемых остаются только два.

Для решения задачи построим эпюры
изгибающих моментов M x,q и крутящих
моментов М кр,q от внешней нагрузки
(рис.33,б), а затем в точке А приложим силу
по направлению искомого перемещения,
т.е. вертикального (рис.33,в), и построим
единичные эпюры изгибающих моментов
и крутящих моментов
(рис.33,г).
Стрелками на эпюрах крутящих моментов
показаны направления закручивания
соответствующих участков
плоско-пространственной системы.

Вертикальное перемещение точки А:

При перемножении эпюр крутящих моментов
произведение берется со знаком “+”,
если стрелки, указывающие направление
кручения, сонаправленны, и со знаком ”
– ” – в противном случае.

studfiles.net

Перемножение эпюр способом Верещагина

Для вы­числения необходимо провести сле­дующие операции:

1. Построить эпюры изгибающих моментов Мр и Мк соответственно от заданного и единичного нагружений балки. При сложном нагружении балки (фиг. 19, а) следует: либо эпюру Мр разбить на простейшие части, для которых величина площади и по­ложение центра тяжести известны (фиг. 19, б), либо (предпочтительно) построить эпюру Мр в расслоенном виде (фиг. 19, в).

Если балка ступенчато переменного сечения, эпюра Мр должна быть, кроме того, разбита на участки, в пре­делах которых жесткость сечения по­стоянна.

2. На каждом участке помножить площадь ω одной из эпюр (например, эпюры Мр) на ординату Мс другой эпюры (например, эпюры Мк) под центром тяжести первой эпюры и по­лученное произведение разделить на коэффициент ступенчатости j.

При этом ордината Мс должна быть взята на эпюре, которая на рассматриваемом участке меняется по линейному закону (без излома). Если же эпюра является лома­ной, ее следует разбить на участки, в пределах которых она окажется линейной.

3. Вычислить сумму слагаемых, ука­занных в п. 2.

Формула для определения переме­щения по рассматриваемому способу

где суммирование производят по всем участкам балки

Площади и координаты центров тя­жести некоторых эпюр даны в табл. 11. Результаты перемножения часто встре­чающихся грузовых и единичных эпюр приведены в табл. 12.

Пример. Определить угол поворота се­ чения В ступенчатой балки (см.фиг. 19, а).

Определив опорные реакций Аи В, построим эпюру Мр на фиг. 19, б и в изо­бражены нерасслоенная и расслоенная эпю­ры Мр. Приложив к точке В освобожденной от нагрузки балки единичный момент, по­строим единичную эпюру М1 (фиг, 19. г).

Используя расслоенную эпюру Мр,по формуле 36 и табл. 12 определяем искомый угол поворота сечения В:

Фиг. 20

Пример. Определить прогиб в точке К балки постоянного поперечного сечения (фиг. 20, а).

Приложив к точке К,освобожденной от заданной нагрузки балки, единичную силу, построим единичную эпюру изгибающих мо­ментов Мк (фиг. 20, б).
Определив опорные реакции от заданной нагрузки

отрежем консоль и заменим ее силой qa и моментом (фиг. 20, в).

Построим, эпюру М расслоенной (от каждого вида нагрузки в отдельности), под­ходя к месту излома единичной эпюры Мк с двух сторон (фиг. 20, i ).

По формуле (36) с использованием табл. 12 определяем искомое перемещение

Заказать решение Способ оплаты

funnystudy.ru

Определение перемещений в балке по формуле Симпсона

Для балки определить линейные и угловые перемещения в точках A, B, C, предварительно подобрав сечение двутавра из условия прочности.

Дано: a =2 м, b =4 м, с=3 м, F =20 кН, М=18 кН м, q =6 кН/м, σ adm =160 МПа, Е=2 10 5 МПа

1) Вычерчиваем схему балки, определяем опорные реакции. В жёсткой заделке возникает 3 реакции - вертикальная и горизонтальная , а так же опорный момент. Поскольку горизонтальных нагрузок нет – соответствующая реакция равна нулю. Для того, чтобы найти реакции в точке E, составим уравнения равновесия.

∑F y = 0 q7-F+R E =0

R E =-q7+F=-67+20=-22кН (знак говорит о том, что

Найдем опорный момент в жесткой заделке , для чего решим уравнение моментов относительно любой выбранной точки.

∑M C: -M E -R E 9-F6-q77/2-M=0

M E =-18-229+649/2=-18-198+147=-69кНм (знак говорит о том, что реакция направлена в обратную сторону, показываем это на схеме)

2) Строим грузовую эпюру M F – эпюру моментов от заданной нагрузки.

Для построения эпюр моментов найдем моменты в характерных точках . В точке В определяем моменты как от правых, так и от левых сил , поскольку в этой точке приложен момент.

Для построения эпюры момента на линии действия распределенной нагрузки (участки АВ и ВС ) нам нужны дополнительные точки для построения кривой. Определим моменты в серединах этих участков. Это моменты в серединах участков АВ и ВС 15,34 кНм и 23,25кНм . Строим грузовую эпюру.

3) Для определения линейных и угловых перемещений в точке необходимо приложить в этой точке, в первом случае, единичную силу (F=1) и построить эпюру моментов, во втором случае, единичный момент (M=1 ) и построить эпюру моментов. Строим эпюры от единичных нагрузок для каждой точки – А, В и С.

4) Для нахождения перемещений мы используем формулу Симпсона.

где l i – длина участка;

EI i – жесткость балки на участке;

M F – значения изгибающих моментов с грузовой эпюры , соответственно в начале, в середине и в конце участка;

– значения изгибающих моментов с единичной эпюры , соответственно в начале, в середине и в конце участка.

Если ординаты эпюр расположены с одной стороны от оси балки, то при перемножении учитывается знак «+», если с разных, то знак «-».

Если результат получился со знаком «-», значит искомое перемещение по направлению не совпадает с направлением соответствующего единичного силового фактора.

Рассмотрим применение формулы Симпсона на примере определения перемещений в точке А.

Определим прогиб, перемножив грузовую эпюру на эпюру от единичной силы.

Прогиб получился со знаком «-», значит искомое перемещение по направлению не совпадает с направлением единичной силы (направлено вверх).

Определим угол поворота , перемножив грузовую эпюру на эпюру от единичного момента.

Угол поворота получился со знаком «-», значит искомое перемещение по направлению не совпадает с направлением соответствующего единичного момента (направлен против часовой стрелки).

5) Для определения конкретных значений перемещений требуется подобрать сечение. Подберем сечение двутавра

где M max – это максимальный момент на грузовой эпюре моментов

Подбираем по сортаменту двутавр №30 с W x =472см 3 и I x = 7080см 4

6) Определяем перемещения в точках, раскрывая жесткость сечения: E – модуль продольной упругости материала или модуль Юнга (2 10 5 МПа), J x – осевой момент инерции сечения

Прогиб в точке А (вверх)

Угол поворота (против часовой стрелки)

Если требуется построить изогнутую ось балки , то балка вычерчивается без нагрузки, и в точках откладываются прогибы в соответствующие стороны - строится плавная кривая – изогнутая ось балки.

prosopromat.ru

Перемножение эпюр по правилу, методу или способу Мора-Верещагина

Привет! В этой статье будем учиться определять перемещения поперечных сечений при изгибе: прогибы и углы поворотов, по методу (способу, правилу) Верещагина. Причем, это правило широко используется не только при определении перемещений, но и при раскрытии статической неопределимости систем по методу сил. Я расскажу, о сути этого метода, как перемножаются эпюры различной сложности и когда выгодно пользоваться этим методом.

Что нужно знать для успешного освоения материалов данного урока?

Обязательно нужно знать, как строится эпюра изгибающих моментов, т.к. в этой статье будем работать с данной эпюрой.

Верещагин и его метод, правило или способ

А.К. Верещагин в 1925г. предложил более простой способ решения (формулы) интеграла Мора. Он предложил вместо интегрирования двух функций перемножать эпюры: умножать площадь одной эпюры на ординату второй эпюры под центром тяжести первой. Этим способом можно пользоваться, когда одна из эпюр прямолинейна, вторая может быть любой. Кроме того, ордината берется прямолинейной эпюры. Когда эпюры обе прямолинейны, то тут совсем не важно, чью брать площадь, а чью ординату. Таким образом, эпюры по Верещагину перемножаются по следующей формуле:​

\({ V={ M }_{ F } }\cdot \overline { M } ={ \omega }_{ C }\cdot { \overline { M } }_{ C } \)​

Проиллюстрировано перемножение эпюр по Верещагину: C - центр тяжести первой эпюры, ωс - площадь первой эпюры, Mc - ордината второй эпюры под центром тяжести первой.

Площадь и центр тяжести эпюр

При использовании метода Верещагина, берется не сразу вся площадь эпюры, а частями, в пределах участков. Эпюра изгибающих моментов расслаивается на простейшие фигуры.

Любую эпюру можно расслоить всего на три фигуры: прямоугольник, прямоугольный треугольник и параболический сегмент.

Перемножение эпюр по Верещагину

В этом блоке статьи покажу частные случаи перемножения эпюр по Верещагину.

Прямоугольник на прямоугольник

​\({ V={ M }_{ F } }\cdot \overline { M } ={ b\cdot h\cdot c } \)​

Прямоугольник на треугольник

​\({ V={ M }_{ F } }\cdot \overline { M } ={ b\cdot h\cdot \frac { 1 }{ 2 } \cdot c } \)​

Треугольник на прямоугольник

​\({ V={ M }_{ F } }\cdot \overline { M } ={ \frac { 1 }{ 2 } \cdot b\cdot h\cdot c } \)​

Сегмент на прямоугольник

​\({ V={ M }_{ F } }\cdot \overline { M } ={ \frac { q\cdot { l }^{ 3 } }{ 12 } \cdot c } \)​

Сегмент на треугольник

​\({ V={ M }_{ F } }\cdot \overline { M } ={ \frac { q\cdot { l }^{ 3 } }{ 12 } \cdot \frac { 1 }{ 2 } \cdot c } \)​

Частные случаи расслоения эпюр на простые фигуры

В этом блоке статьи покажу частные случаи расслоения эпюр на простые фигуры, для возможности их перемножения по Верещагину.

Прямоугольник и треугольник

Два треугольника

Два треугольника и сегмент

Треугольник, прямоугольник и сегмент

Пример определения перемещений: прогибов и углов поворотов по Верещагину

Теперь предлагаю рассмотреть конкретный пример с расчетом перемещений поперечных сечений: их прогибов и углов поворотов. Возьмем стальную балку, которая загружена всевозможными типами нагрузок и определим прогиб сечения C, а также угол поворота сечения A.

Построение эпюры изгибающих моментов

В первую очередь, рассчитываем и строим эпюру изгибающих моментов:

Построение единичных эпюр моментов

Теперь для каждого искомого перемещений необходимо приложить единичную нагрузку (безразмерную величину равную единице) и построить единичные эпюры:

• Для прогибов, прикладываются единичные силы.
• Для углов поворотов, прикладываются единичные моменты.

Причем направление этих нагрузок не важно! Расчет покажет верное направление перемещений.

Например, после расчета величина прогиба получилась положительной, это значит, что направление перемещения сечения совпадает с направлением ранее прикладываемой силы. Тоже самое касается и углов поворотов.

Перемножение участков эпюры по Верещагину

После проведения всех подготовительных работ: построения эпюры изгибающих моментов, расслоения ее на элементарные фигуры и построения единичных эпюр от нагрузок, приложенных в местах и направлении искомых перемещений, можно переходить непосредственно к перемножению соответствующих эпюр.

Как уже было написано выше, линейные эпюры можно перемножать в любом порядке, то есть брать площадь любой эпюры: основной или единичной, и умножать на ординату другой. Но обычно, чтобы не путаться в расчетах, площади берут основной эпюры изгибающих моментов , в этом уроке будем придерживаться этого же правила.

Определение прогиба сечения С

Перемножаем соответствующие эпюры слева направо и вычисляем прогиб сечения C по методу Мора - Верещагина:

\[ { V }_{ C }=\frac { 1 }{ E{ I }_{ x } } (\frac { 1 }{ 2 } \cdot 6\cdot 3\cdot \frac { 2 }{ 3 } \cdot 2+\frac { 1 }{ 2 } \cdot 6\cdot 2\cdot \frac { 2 }{ 3 } \cdot 2)=\frac { 20кН{ м }^{ 3 } }{ E{ I }_{ x } } \]

Представим, что рассчитываемая балки имеет поперечное сечение в виде двутавра №24 по ГОСТ 8239-89, тогда прогиб балки будет равен:

\[ { V }_{ C }=\frac { 20кН{ м }^{ 3 } }{ E{ I }_{ x } } =\frac { 20\cdot { 10 }^{ 9 }Н\cdot { см }^{ 3 } }{ 2\cdot { 10 }^{ 7 }\frac { Н }{ { см }^{ 2 } } \cdot 3460{ см }^{ 4 } } =0.289см \]

Определение угла поворота сечения С

Перемножаем соответствующие эпюры слева направо и вычисляем угол поворота сечения C по правилу Мора - Верещагина:

\[ { \theta }_{ C }=\frac { 1 }{ E{ I }_{ x } } (-\frac { 1 }{ 2 } \cdot 6\cdot 3\cdot \frac { 1 }{ 3 } \cdot 1)=-\frac { 3кН{ м }^{ 2 } }{ E{ I }_{ x } } \]

\[ { { \theta } }_{ C }=-\frac { 3кН{ м }^{ 2 } }{ E{ I }_{ x } } =-\frac { 3\cdot { 10 }^{ 7 }Н\cdot { см }^{ 3 } }{ 2\cdot { 10 }^{ 7 }\frac { Н }{ { см }^{ 2 } } \cdot 3460{ см }^{ 4 } } =-0.0004рад \]

sopromats.ru

Формулы трапеций и Симпсона

Воспользуемся
правилом Верещагина для перемножения
двух прямолинейных эпюр, имеющих вид
трапеций. Разобьем обе трапеции на
треугольники, у которых площади и
положения центров тяжести легко
определяются.

Эпюра
M F

ω 1

C 1 C 2

ω 2

Эпюра

Мы
получили формулу
трапеций,
согласно
которой произведения соответствующих
левых и правых ординат эпюр необходимо
удвоить, а произведения перекрестных
ординат взять одинарными, и полученную
сумму умножить на одну шестую длины
эпюр.

Рассмотрим
случай, когда грузовая эпюра представлена
квадратной параболой, а единичная эпюра
– трапецией.

ω П.С.

Наряду
с крайними ординатами укажем и средние.

Разобьем
криволинейную эпюру на трапецию и
параболический сегмент.

Произведем
перемножение соответствующих фигур.

Выражение
I Т
у нас имеется. Найдем
.

Площадь
параболического сегмента:

Ордината
единичной эпюры под центром тяжести
параболического сегмента:

После
подстановки получаем формулу
Симпсона:

Произведение
двух эпюр равно сумме произведений
крайних ординат и учетверенному
произведению средних ординат, умноженной
на одну шестую длины эпюр.

§7. Силовой расчет статически неопределимых стержневых систем (снс).

Статически
неопределимые системы (СНС) имеют
преимущества и недостатки по сравнению
со статически определимыми системами
(СОС).

Достоинства:

СНС
обладают большей живучестью при
эксплуатации под нагрузкой, чем СОС. В
СОС все элементы практически
равнонапряжены, и поэтому они имеют
резервы прочности только в пределах
коэффициента запаса k
=1,5
– 2. Если хотя бы один элемент перейдет
в предельное состояние, вся конструкция
получит недопустимые с точки зрения
норм расчета деформации или разрушится.
СНС – это неравнонапряженная конструкция
и при переходе наиболее напряженного
элемента в предельное состояние,
происходит перераспределение усилий
от возросшей нагрузки на менее напряженные
элементы.

СНС,
в силу наличия лишних связей и избыточной
жесткости отдельных элементов, менее
деформативны, чем СОС, т.е. в них меньше
линейные угловые перемещения.

Недостатки:

СНС
более сложны в расчете, чем СОС, что
объясняется наличием избыточных
(лишних) связей. Трудоемкость расчета
СНС пропорциональна третьей степени
количества лишних связей, т.е.
.
Например, если для двух системn 1 =1,
n 2 =4 ,
то
t 1 = α ,
t 2 =64α ,
т.е. время расчета возрастает в 64 раза.

В
СНС распределение усилий в элементах
зависит от их геометрических размеров,
определение которых, в свою очередь,
является основной задачей сопротивления
материалов. Таким образом, возникает
необходимость априорного назначения
изгибных жесткостей и поперечных
сечений отдельных стержней: (EY ) k =α k (EY ),
что приводит к неоднозначности
конструктивных решений.

Более
удачные назначения жесткостей, зависящие
от понимания сущности задач сопротивления
материалов, приведет к созданию более
оптимальных конструкций.

В
СНС возможно появление трудно
предсказуемого по величине
напряженно-деформированного состояния,
вызванного температурными изменениями
и независимой осадкой опор. Изменение
температуры одного из элементов вызывает
появление температурных напряжений
во всех стержнях СНС. Равно как неточность
изготовления одного из стержней или
смещение одной связи вызывает появление
монтажных напряжений во всех стержнях.
В СОС таких напряжений не возникает.

Рассмотрим
основные методы расчета СНС при
статическом воздействии нагрузок.