1. Определение и простейшие свойства. Возьмем ненулевые векторы а и b и отложим их от произвольной точки О: ОА = а и ОВ = b. Величина угла АОВ называется углом между векторами а и b и обозначается  (a,b). Если же хотя бы один из двух векторов – нулевой, то угол между ними по определению считается прямым. Заметим, что по определению угол между векторами не меньше 0 и не больше  . При этом угол между двумя ненулевыми векторами равен 0 тогда и только тогда, когда эти векторы сонаправлены и равен  тогда и только тогда, когда они противоположно направлены.

Проверим, что угол между векторами не зависит от выбора точки О. Это очевидно, если векторы коллинеарны. В противном случае отложим от произвольной точки О 1 векторы О 1 А 1 = а и О 1 В 1 = b и заметим, что треугольники АОВ и А 1 О 1 В 1 равны по трем сторонам, ибо |ОА| = |О 1 А 1 | = |а|, |ОВ| = |О 1 В 1 | = |b|, |АВ| = |А 1 В 1 | = |b–а|. Поэтому углы АОВ и А 1 О 1 В 1 равны.

Теперь мы можем дать основное в этом параграфе

(5.1) Определение. Скалярным произведением двух векторов а и b (обозначается ab) называется число 6 , равное произведению длин этих векторов на косинус угла между векторами. Короче:

ab = |a||b|cos  (a,b).

Операция нахождения скалярного произведения называется скалярным умножением векторов. Скалярное произведение аа вектора на себя называется скалярным квадратом этого вектора и обозначается а 2 .

(5.2) Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

 Если |а|  0, то  (a,a) = 0, откуда а 2 = |а||а|cos0 = |a| 2 . Если же а = 0, то а 2 = |а| 2 = 0. 

(5.3) Неравенство Коши. Модуль скалярного произведения двух векторов не превосходит произведения модулей сомножителей: |ab|  |a||b|. При этом равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы а и b коллинеарны.

 По определению |ab| = ||a||b|cos  (a,b)| = |a||b||cos  (a,b)|  |a||b. Этим доказано само неравенство Коши. Теперь заметим. что для ненулевых векторов а и b равенство в нем достигается тогда и только тогда, когда |cos  (a,b)| = 1, т.е. при  (a,b) = 0 или  (a,b) =  . Последнее равносильно тому, что векторы а и b сонаправлены или противоположно направлены, т.е. коллинеарны. Если же хотя бы один из векторов а и b – нулевой, то они коллинеарны и |ab| = |a||b| = 0. 

2. Основные свойства скалярного умножения. К ним относят следующие:

(СУ1) ab = ba (коммутативность);

(СУ2) (ха)b = х(ab) (ассоциативность);

(СУ3) а(b+c) = ab + ac (дистрибутивность).

Коммутативность здесь очевидна, ибо  ab =  bа. Ассоциативность при х = 0 также очевидна. Если х > 0, то

(ха)b = |ха||b|cos  (хa,b) = |х||а||b|cos  (хa,b) = х|а||b|cos  (a,b) = х(ab),

ибо  (хa,b) =  (a,b) (из сонаправленности векторов ха и а – рис.21). Если же х < 0, то

(ха)b = |х||а||b|cos  (хa,b) = –х|а||b|(–cos  (a,b)) = х|а||b|cos  (a,b) = х(ab),

ибо  (хa,b) =  –  (a,b) (из противоположной направленности векторов ха и а – рис.22). Таким образом, ассоциативность тоже доказана.

Доказать дистрибутивность сложнее. Для этого нам потребуется такая

(5.4) Лемма. Пусть а – ненулевой вектор, параллельный прямой l, а b – произвольный вектор. Тогда ортогональная проекция b " вектора b на прямую l равна
.



Если b = 0, то b " = 0 и ab = 0, так что в этом случае лемма верна. В дальнейшем будем считать, что вектор b" ненулевой. В этом случае от произвольной точки О прямой l отложим векторы ОА = а и ОВ = b, а также опустим перпендикуляр BB" из точки В на прямую l. По определению O B" = b " и  (a,b) =  АОВ. Обозначим  АОВ через  и докажем лемму отдельно для каждого из следующих трех случаев:

1)  <  /2. Тогда векторы а и сонаправлены (рис.23) и

b " = =
=
.

2)  >  /2 . Тогда векторы а и b " противоположно направлены (рис.24) и

b " = – = –
= .

3)  =  /2. Тогда b " = 0 и ab = 0, откуда b " =
= 0. 

Теперь докажем дистрибутивность (СУ3). Она очевидна, если вектор а – нулевой. Пусть а  0. Тогда проведем прямую l || а, и обозначим через b " и c " ортогональные проекции на нее векторов b и с, а через d " – ортогональную проекцию на нее вектора d = b+c. По теореме 3.5 d " = b "+ c ". Применяя к последнему равенству лемму 5.4, получаем равенство
=
. Скалярно умножив его на а, находим, что 2 =
, откуда ad = ab+ac, что и требовалось доказать. 

Доказанные нами свойства скалярного умножения векторов аналогичны соответствующим свойствам умножения чисел. Но не все свойства умножения чисел переносятся на скалярное умножение векторов. Вот типичные примеры:

1

) Если ab = 0, то это не означает, что а = 0 или b = 0. Пример: два ненулевых вектора, образующие прямой угол.

2) Если ab = ac, то это не означает, что b = с, даже если вектор а – ненулевой. Пример: b и с – два различных вектора одинаковой длины, образующие с вектором а равные углы (рис. 25).

3) Неверно, что всегда а(bc) = (ab)c: хотя бы потому, что справедливость такого равенства при bc, ab  0 влечет коллинеарность векторов а и с.

3. Ортогональность векторов. Два вектора называются ортогональными, если угол между ними – прямой. Ортогональность векторов обозначается значком  .

Когда мы определяли угол между векторами, то договорились считать угол между нулевым вектором и любым другим вектором прямым. Поэтому нулевой вектор ортогонален любому. Это соглашение позволяет доказать такой

(5.5) Признак ортогональности двух векторов. Два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно 0.

 Пусть а и b – произвольные векторы. Если хотя бы один из них – нулевой, то они ортогональны, а их скалярное произведение равно 0. Таким образом, в этом случае теорема верна. Допустим теперь, что оба данных вектора – ненулевые. По определению ab = |a||b|cos  (a,b). Поскольку по нашему предположению числа |a| и |b| не равны 0, то ab = 0  cos  (a,b) = 0   (a,b) =  /2, что и требовалось доказать. 

Равенство ab = 0 часто принимают за определение ортогональности векторов.

(5.6) Следствие. Если вектор а ортогонален каждому из векторов а 1 , …, а п , то он ортогонален и любой их линейной комбинации.

 Достаточно заметить, что из равенства аа 1 = … = аа п = 0 следует равенство а(х 1 а 1 + … +х п а п ) = х 1 (аа 1 ) + … + х п (аа п ) = 0. 

Из следствия 5.6 легко выводится школьный признак перпендикулярности прямой и плоскости. В самом деле, пусть некоторая прямая MN перпендикулярна двум пересекающимся прямым АВ и АС. Тогда вектор MN ортогонален векторам АВ и АС. Возьмем в плоскости АВС любую прямую DE. Вектор DE компланарен неколлинеарным векторам АВ и АС, и потому раскладывается по ним. Но тогда он тоже ортогонален вектору MN, то есть прямые MN и DE перпендикулярны. Получается, что прямая MN перпендикулярна любой прямой из плоскости АВС, что и требовалось доказать.

4. Ортонормированные базисы. (5.7) Определение. Базис векторного пространства называется ортонормированным, если, во-первых, все его векторы имеют единичную длину и, во-вторых, любые два его вектора ортогональны.

Векторы ортонормированного базиса в трехмерном пространстве обычно обозначают буквами i, j и k, а на векторной плоскости – буквами i и j. Учитывая признак ортогональности двух векторов и равенство скалярного квадрата вектора квадрату его длины, условия ортонормированности базиса (i,j,k) пространства V 3 можно записать так:

(5.8) i 2 = j 2 = k 2 = 1 , ij = ik = jk = 0,

а базиса (i,j) векторной плоскости – так:

(5.9) i 2 = j 2 = 1 , ij = 0.

Пусть векторы а и b имеют в ортонормированном базисе (i,j,k) пространства V 3 координаты (а 1 , а 2 , а 3 ) и (b 1 b 2 , b 3 ) соответственно. Тогда ab = (а 1 i+ а 2 j+ а 3 k)(b 1 i+b 2 j+b 3 k) = a 1 b 1 i 2 +a 2 b 2 j 2 +a 3 b 3 k 2 +a 1 b 2 ij+a 1 b 3 ik+a 2 b 1 ji+a 2 b 3 jk+a 3 b 1 ki+a 3 b 2 kj = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 . Так получается формула для скалярного произведения векторов а(а 1 ,а 2 ,а 3 ) и b(b 1 ,b 2 ,b 3 ), заданных своими координатами в ортонормированном базисе пространства V 3 :

(5.10) ab = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 .

Для векторов а(а 1 ,а 2 ) и b(b 1 , b 2 ), заданных своими координатами в ортонормированном базисе на векторной плоскости, она имеет вид

(5.11) ab = a 1 b 1 + a 2 b 2 .

Подставим в формулу (5.10) b = a. Получится, что в ортонормированном базисе а 2 = а 1 2 + а 2 2 + а 3 2 . Поскольку а 2 = |а| 2 , получается такая формула для нахождения длины вектора а(а 1 ,а 2 ,а 3 ), заданного своими координатами в ортонормированном базисе пространства V 3 :

(5.12) |а| =
.

На векторной плоскости она в силу (5.11) приобретает вид

(5.13) |а| =
.

Подставляя в формулу (5.10) b = i, b = j, b = k, получаем еще три полезных равенства:

(5.14) ai = a 1 , aj = а 2 , ak = а 3 .

Простота координатных формул для нахождения скалярного произведения векторов и длины вектора составляет главное преимущество ортонормированных базисов. Для неортонормированных базисов эти формулы, вообще говоря, неверны, и их применение в этом случае является грубой ошибкой.

5. Направляющие косинусы. Возьмем в ортонормированном базисе (i,j,k) пространства V 3 вектор а(а 1 ,а 2 ,а 3 ). Тогда ai = |a||i|cos  (a,i) = |a|cos  (a,i). С другой стороны, ai = a 1 по формуле 5.14. Получается, что

(5.15) а 1 = |a|cos  (a,i).

и, аналогично,

а 2 = |a|cos  (a,j), а 3 = |a|cos  (a,k).

Если вектор а – единичный, эти три равенства приобретают особенно простой вид:

(5.16) а 1 = cos  (a,i), а 2 = cos  (a,j), а 3 = cos  (a,k).

Косинусы углов, образованных вектором с векторами ортонормированного базиса, называются направляющими косинусами этого вектора в данном базисе. Как показывают формулы 5.16, координаты единичного вектора в ортонормированном базисе равны его направляющим косинусам.

Из 5.15 вытекает, что а 1 2 + а 2 2 + а 3 2 = |а| 2 (cos 2  (a,i)+cos 2  (a,j) +cos 2  (a,k)). С другой стороны, а 1 2 + а 2 2 + а 3 2 = |а| 2 . Получается, что

(5.17) сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна 1.

Этот факт бывает полезен для решения некоторых задач.

(5.18) Задача. Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с двумя его ребрами, выходящими из той же вершины, углы по 60  . Какой угол она образует с третьим выходящим из этой вершины ребром?

 Рассмотрим ортонормированный базис пространства V 3 , векторы которого изображены ребрами параллелепипеда, выходящим из данной вершины. Поскольку вектор диагонали образует с двумя векторами этого базиса углы по 60  , квадраты двух из трех его направляющих косинусов равны cos 2 60  = 1/4. Поэтому квадрат третьего косинуса равен 1/2, а сам этот косинус равен 1/
. Значит, искомый угол равен 45  . 

Если в задаче и длины векторов, и угол между ними преподнесены "на блюдечке с голубой каёмочкой", то условие задачи и её решение выглядят так:

Пример 1. Даны векторы . Найти скалярное произведение векторов , если их длины и угол между ними представлены следующими значениями:

Справедливо и другое определение, полностью равносильное определению 1.

Определение 2 . Скалярным произведением векторов называется число (скаляр), равное произведению длины одного их этих векторов на проекцию другого вектора на ось, определяемую первым из указанных векторов. Формула согласно определению 2:

Задачу с применением этой формулы решим после следующего важного теоретического пункта.

Определение скалярного произведения векторов через координаты

То же самое число можно получить, если перемножаемые векторы заданы своими координатами.

Определение 3. Скалярное произведение векторов - это число, равное сумме попарных произведений их соответствующих координат .

На плоскости

Если два вектора и на плоскости определены своими двумя декартовыми прямоугольными координатами

то скалярное произведение этих векторов равно сумме попарных произведений их соответствующих координат:

.

Пример 2. Найти численную величину проекции вектора на ось, параллельную вектору .

Решение. Находим скалярное произведение векторов, складывая попарные произведения их координат:

Теперь нам требуется приравнять полученное скалярное произведение произведению длины вектора на проекцию вектора на ось, параллельную вектору (в соответствии с формулой ).

Находим длину вектора как квадратный корень из суммы квадратов его координат:

.

Составляем уравнение и решаем его:

Ответ. Искомая численная величина равна минус 8.

В пространстве

Если два вектора и в пространстве определены своими тремя декартовыми прямоугольными координатами

,

то скалярное произведение этих векторов также равно сумме попарных произведений их соответствующих координат, только координат уже три:

.

Задача на нахождение скалярного произведения рассмотренным способом - после разбора свойств скалярного произведения. Потому что в задаче потребуется определить, какой угол образуют перемножаемые векторы.

Свойства скалярного произведения векторов

Алгебраические свойства

1. (переместительное свойство : от перемены местами перемножаемых векторов величина их скалярного произведения не меняется).

2. (сочетательное относительно числового множителя свойство : скалярное произведение вектора, умноженного на некоторый множитель, и другого вектора, равно скалярному произведению этих векторов, умноженному на тот же множитель).

3. (распределительное относительно суммы векторов свойство : скалярное произведение суммы двух векторов на третий вектор равно сумме скалярных произведений первого вектора на третий вектор и второго вектора на третий вектор).

4. (скалярный квадрат вектора больше нуля ), если - ненулевой вектор, и , если - нулевой вектор.

Геометрические свойства

В определениях изучаемой операции мы уже касались понятия угла между двумя векторами. Пора уточнить это понятие.

На рисунке выше видны два вектора, которые приведены к общему началу. И первое, на что нужно обратить внимание: между этими векторами существуют два угла - φ 1 и φ 2 . Какой из этих углов фигурирует в определениях и свойствах скалярного произведения векторов? Сумма рассмотренных углов равна 2π и поэтому косинусы этих углов равны. В определение скалярного произведения входит только косинус угла, а не значение его выражения. Но в свойствах рассматривается только один угол. И это тот из двух углов, который не превосходит π , то есть 180 градусов. На рисунке этот угол обозначен как φ 1 .

1. Два вектора называют ортогональными и угол между этими векторами - прямой (90 градусов или π /2 ), если скалярное произведение этих векторов равно нулю :

.

Ортогональностью в векторной алгебре называется перпендикулярность двух векторов.

2. Два ненулевых вектора составляют острый угол (от 0 до 90 градусов, или, что тоже самое - меньше π скалярное произведение положительно .

3. Два ненулевых вектора составляют тупой угол (от 90 до 180 градусов, или, что то же самое - больше π /2 ) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение отрицательно .

Пример 3. В координатах даны векторы:

.

Вычислить скалярные произведения всех пар данных векторов. Какой угол (острый, прямой, тупой) образуют эти пары векторов?

Решение. Вычислять будем путём сложения произведений соответствующих координат.

Получили отрицательное число, поэтому векторы образуют тупой угол.

Получили положительное число, поэтому векторы образуют острый угол.

Получили нуль, поэтому векторы образуют прямой угол.

Получили положительное число, поэтому векторы образуют острый угол.

.

Получили положительное число, поэтому векторы образуют острый угол.

Для самопроверки можно использовать онлайн калькулятор Скалярное произведение векторов и косинус угла между ними .

Пример 4. Даны длины двух векторов и угол между ними:

.

Определить, при каком значении числа векторы и ортогональны (перпендикулярны).

Решение. Перемножим векторы по правилу умножения многочленов:

Теперь вычислим каждое слагаемое:

.

Составим уравнение (равенство произведения нулю), приведём подобные члены и решим уравнение:

Ответ: мы получили значение λ = 1,8 , при котором векторы ортогональны.

Пример 5. Доказать, что вектор ортогонален (перпендикулярен) вектору

Решение. Чтобы проверить ортогональность, перемножим векторы и как многочлены, подставляя вместо его выражение, данное в условии задачи:

.

Для этого нужно каждый член (слагаемое) первого многочлена умножить на каждый член второго и полученные произведения сложить:

.

В полученном результате дробь за счёт сокращается. Получается следующий результат:

Вывод: в результате умножения получили нуль, следовательно, ортогональность (перпендикулярность) векторов доказана.

Решить задачу самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Даны длины векторов и , a угол между этими векторами равен π /4 . Определить, при каком значении μ векторы и взаимно перпендикулярны.

Для самопроверки можно использовать онлайн калькулятор Скалярное произведение векторов и косинус угла между ними .

Матричное представление скалярного произведения векторов и произведение n-мерных векторов

Иногда выигрышным для наглядности является представление двух перемножаемых векторов в виде матриц. Тогда первый вектор представлен в виде матрицы-строки, а второй - в виде матрицы-столбца:

Тогда скалярное произведение векторов будет произведением этих матриц :

Результат тот же, что и полученный способом, который мы уже рассмотрели. Получили одно единственное число, и произведение матрицы-строки на матрицу-столбец также является одним единственным числом.

В матричной форме удобно представлять произведение абстрактных n-мерных векторов. Так, произведение двух четырёхмерных векторов будет произведением матрицы-строки с четырьмя элементами на матрицу-столбец также с четырьмя элементами, произведение двух пятимерных векторов - произведением матрицы-строки с пятью элементами на матрицу-столбец также с пятью элементами и так далее.

Пример 7. Найти скалярные произведения пар векторов

,

используя матричное представление.

Решение. Первая пара векторов. Представляем первый вектор в виде матрицы-строки, а второй - в виде матрицы-столбца. Находим скалярное произведение этих векторов как произведение матрицы-строки на матрицу-столбец:

Аналогично представляем вторую пару и находим:

Как видим, результаты получились те же, что и у тех же пар из примера 2.

Угол между двумя векторами

Вывод формулы косинуса угла между двумя векторами очень красив и краток.

Чтобы выразить скалярное произведение векторов

(1)

в координатной форме, предварительно найдём скалярные произведение ортов. Скалярное произведение вектора на само себя по определению:

То, что записано в формуле выше, означает: скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины . Косинус нуля равен единице, поэтому квадрат каждого орта будет равен единице:

Так как векторы

попарно перпендикулярны, то попарные произведения ортов будут равны нулю:

Теперь выполним умножение векторных многочленов:

Подставляем в правую часть равенства значения соответствующих скалярных произведений ортов:

Получаем формулу косинуса угла между двумя векторами:

Пример 8. Даны три точки A (1;1;1), B (2;2;1), C (2;1;2).

Найти угол .

Решение. Находим координаты векторов:

,

.

По формуле косинуса угла получаем:

Следовательно, .

Для самопроверки можно использовать онлайн калькулятор Скалярное произведение векторов и косинус угла между ними .

Пример 9. Даны два вектора

Найти сумму, разность, длину, скалярное произведение и угол между ними.

2.Разность

Лекция: Координаты вектора; скалярное произведение векторов; угол между векторами

Координаты вектора

Итак, как уже говорилось ранее, вектора – это направленный отрезок, у которого есть собственное начало и конец. Если начало и конец представлены некоторыми точками, значит на плоскости или в пространстве у них есть свои координаты.

Если же у каждой точки есть свои координаты, то мы можем получить и координаты целого вектора.

Допустим, мы имеем некоторый вектор, у которого начало и конец вектора имеют следующие обозначения и координаты: A(A x ; Ay) и B(B x ; By)

Чтобы получить координаты данного вектора, необходимо из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты начала:

Для определения координаты вектора в пространстве следует воспользоваться следующей формулой:

Скалярное произведение векторов

Существует два способа определения понятия скалярного произведения:

• Геометрический способ. Согласно ему, скалярное произведение равно произведению величин данных модулей на косинус угла между ними.

• Алгебраический смысл. С точки зрения алгебры, скалярное произведение двух вектором – это некая величина, которая получается в результате суммы произведений соответствующих векторов.

Если векторы заданы в пространстве, то следует воспользоваться аналогичной формулой:

Свойства:

• Если умножить два одинаковых вектора скалярно, то их скалярное произведение будет не отрицательным:

• Если же скалярное произведение двух одинаковых векторов получилось равным нулю, то эти векторы считаются нулевыми:

• Если некоторый вектор умножить на себя же, то скалярное произведение получится равным квадрату его модуля:

• Скалярное произведение имеет коммуникативное свойство, то есть от перестановки векторов скалярное произведение не изменится:

• Скалярное произведение ненулевых векторов может быть равно нулю только в том случае, если вектора перпендикулярны друг другу:

• Для скалярного произведения векторов справедлив переместительный закон в случае с умножением одного из векторов на число:

• При скалярном произведении так же можно использовать дистрибутивное свойство умножения:

Угол между векторами

Скалярное произведение векторов

Продолжаем разбираться с векторами. На первом уроке Векторы для чайников мы рассмотрели понятие вектора, действия с векторами, координаты вектора и простейшие задачи с векторами. Если вы зашли на эту страничку впервые с поисковика, настоятельно рекомендую прочитать вышеуказанную вводную статью, поскольку для усвоения материала необходимо ориентироваться в используемых мной терминах, обозначениях, обладать базовыми знаниями о векторах и уметь решать элементарные задачи. Данный урок является логическим продолжением темы, и на нём я подробно разберу типовые задания, в которых используется скалярное произведение векторов. Это ОЧЕНЬ ВАЖНОЕ занятие . Постарайтесь не пропускать примеры, к ним прилагается полезный бонус – практика поможет вам закрепить пройденный материал и «набить руку» на решении распространенных задач аналитической геометрии.

Сложение векторов, умножение вектора на число…. Было бы наивным думать, что математики не придумали что-нибудь ещё. Помимо уже рассмотренных действий, существует ряд других операций с векторами, а именно: скалярное произведение векторов , векторное произведение векторов и смешанное произведение векторов . Скалярное произведение векторов знакомо нам со школы, два других произведения традиционно относятся к курсу высшей математики. Темы несложные, алгоритм решения многих задач трафаретен и понятен. Единственное. Информации прилично, поэтому нежелательно пытаться освоить-прорешать ВСЁ И СРАЗУ. Особенно это касается чайников, поверьте, автор совершенно не хочет чувствовать себя Чикатило от математики. Ну и не от математики, конечно, тоже =) Более подготовленные студенты могут использовать материалы выборочно, в известном смысле, «добирать» недостающие знания, для вас я буду безобидным графом Дракулой =)

Приоткроем же, наконец, дверь и увлечённо посмотрим, что происходит, когда два вектора встречают друг друга….

Определение скалярного произведения векторов.
Свойства скалярного произведения. Типовые задачи

Понятие скалярного произведения

Сначала про угол между векторами . Думаю, всем интуитивно понятно, что такое угол между векторами, но на всякий случай чуть подробнее. Рассмотрим свободные ненулевые векторы и . Если отложить данные векторы от произвольной точки , то получится картинка, которую многие уже представили мысленно:

Признаюсь, здесь я обрисовал ситуацию только на уровне понимания. Если необходимо строгое определение угла между векторами, пожалуйста, обратитесь к учебнику, для практических же задач оно нам, в принципе, ни к чему. Также ЗДЕСЬ И ДАЛЕЕ я буду местами игнорировать нулевые векторы ввиду их малой практической значимости. Оговорку сделал специально для продвинутых посетителей сайта, которые могут меня упрекнуть в теоретической неполноте некоторых последующих утверждений.

может принимать значения от 0 до 180 градусов (от 0 до радиан) включительно. Аналитически данный факт записывается в виде двойного неравенства: либо (в радианах).

В литературе значок угла часто пропускают и пишут просто .

Определение: Скалярным произведением двух векторов и называется ЧИСЛО, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Вот это вот уже вполне строгое определение.

Акцентируем внимание на существенной информации:

Обозначение: скалярное произведение обозначается через или просто .

Результат операции является ЧИСЛОМ : Умножается вектор на вектор, а получается число. Действительно, если длины векторов – это числа, косинус угла – число, то их произведение тоже будет числом.

Сразу пара разминочных примеров:

Пример 1

Решение: Используем формулу . В данном случае:

Ответ:

Значения косинуса можно найти в тригонометрической таблице . Рекомендую её распечатать – потребуется практически во всех разделах вышки и потребуется много раз.

Чисто с математической точки зрения скалярное произведение безразмерно, то есть результат, в данном случае , просто число и всё. С точки же зрения задач физики скалярное произведение всегда имеет определенный физический смысл, то есть после результата нужно указать ту или иную физическую единицу. Канонический пример по вычислению работы силы можно найти в любом учебнике (формула в точности представляет собой скалярное произведение). Работа силы измеряется в Джоулях, поэтому, и ответ запишется вполне конкретно, например, .

Пример 2

Найти , если , а угол между векторами равен .

Это пример для самостоятельного решения, ответ в конце урока.

Угол между векторами и значение скалярного произведения

В Примере 1 скалярное произведение получилось положительным, а в Примере 2 – отрицательным. Выясним, от чего зависит знак скалярного произведения. Смотрим на нашу формулу: . Длины ненулевых векторов всегда положительны: , поэтому знак может зависеть только от значения косинуса.

Примечание: Для более качественного понимания нижеприведенной информации лучше изучить график косинуса в методичке Графики и свойства функции . Посмотрите, как ведёт себя косинус на отрезке .

Как уже отмечалось, угол между векторами может изменяться в пределах , и при этом возможны следующие случаи:

1) Если угол между векторами острый : (от 0 до 90 градусов), то , и скалярное произведение будет положительным сонаправлены , то угол между ними считается нулевым , и скалярное произведение также будет положительным. Поскольку , то формула упрощается: .

2) Если угол между векторами тупой : (от 90 до 180 градусов), то , и, соответственно, скалярное произведение отрицательно : . Особый случай: если векторы направлены противоположно , то угол между ними считается развёрнутым : (180 градусов). Скалярное произведение тоже отрицательно, так как

Справедливы и обратные утверждения:

1) Если , то угол между данными векторами острый. Как вариант, векторы сонаправлены.

2) Если , то угол между данными векторами тупой. Как вариант, векторы направлены противоположно.

Но особый интерес представляет третий случай:

3) Если угол между векторами прямой : (90 градусов), то и скалярное произведение равно нулю : . Обратное тоже верно: если , то . Компактно утверждение формулируется так: Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда данные векторы ортогональны . Короткая математическая запись:

! Примечание : повторим основы математической логики : двусторонний значок логического следствия обычно читают «тогда и только тогда», «в том и только в том случае». Как видите, стрелки направлены в обе стороны – «из этого следует это, и обратно – из того, следует это». В чём, кстати, отличие от одностороннего значка следования ? Значок утверждает, только то , что «из этого следует это», и не факт, что обратное справедливо. Например: , но не каждый зверь является пантерой, поэтому в данном случае нельзя использовать значок . В то же время, вместо значка можно использовать односторонний значок. Например, решая задачу, мы выяснили, что и сделали вывод, что векторы ортогональны: – такая запись будет корректной, и даже более уместной, чем .

Третий случай имеет большую практическую значимость , поскольку позволяет проверить, ортогональны векторы или нет. Данную задачу мы решим во втором разделе урока.

Свойства скалярного произведения

Вернёмся к ситуации, когда два вектора сонаправлены . В этом случае угол между ними равен нулю, , и формула скалярного произведения принимает вид: .

А что будет, если вектор умножить на самого себя? Понятно, что вектор сонаправлен сам с собой, поэтому пользуемся вышеуказанной упрощенной формулой:

Число называется скалярным квадратом вектора , и обозначатся как .

Таким образом, скалярный квадрат вектора равен квадрату длины данного вектора:

Из данного равенства можно получить формулу для вычисления длины вектора:

Пока она кажется малопонятной, но задачи урока всё расставят на свои места. Для решения задач нам также потребуются свойства скалярного произведения .

Для произвольных векторов и любого числа справедливы следующие свойства:

1) – переместительный или коммутативный закон скалярного произведения.

2) – распределительный или дистрибутивный закон скалярного произведения. Попросту, можно раскрывать скобки.

3) – сочетательный или ассоциативный закон скалярного произведения. Константу можно вынести из скалярного произведения.

Зачастую, всевозможные свойства (которые ещё и доказывать надо!) воспринимаются студентами как ненужный хлам, который лишь необходимо вызубрить и сразу после экзамена благополучно забыть. Казалось бы, чего тут важного, все и так с первого класса знают, что от перестановки множителей произведение не меняется: . Должен предостеречь, в высшей математике с подобным подходом легко наломать дров. Так, например, переместительное свойство не является справедливым для алгебраических матриц . Неверно оно и для векторного произведения векторов . Поэтому, в любые свойства, которые вам встретятся в курсе высшей математики, как минимум, лучше вникать, чтобы понять, что можно делать, а чего нельзя.

Пример 3

.

Решение: Сначала проясним ситуацию с вектором . Что это вообще такое? Сумма векторов и представляет собой вполне определенный вектор, который и обозначен через . Геометрическую интерпретацию действий с векторами можно найти в статье Векторы для чайников . Та же петрушка с вектором – это сумма векторов и .

Итак, по условию требуется найти скалярное произведение . По идее, нужно применить рабочую формулу , но беда в том, что нам неизвестны длины векторов и угол между ними. Зато в условии даны аналогичные параметры для векторов , поэтому мы пойдём другим путём:

(1) Подставляем выражения векторов .

(2) Раскрываем скобки по правилу умножения многочленов, пошлую скороговорку можно найти в статье Комплексные числа или Интегрирование дробно-рациональной функции . Повторяться уж не буду =) Кстати, раскрыть скобки нам позволяет дистрибутивное свойство скалярного произведения. Имеем право.

(3) В первом и последнем слагаемом компактно записываем скалярные квадраты векторов: . Во втором слагаемом используем перестановочность скалярного произведения: .

(4) Приводим подобные слагаемые: .

(5) В первом слагаемом используем формулу скалярного квадрата , о которой не так давно упоминалось. В последнем слагаемом, соответственно, работает та же штука: . Второе слагаемое раскладываем по стандартной формуле .

(6) Подставляем данные условия , и ВНИМАТЕЛЬНО проводим окончательные вычисления.

Ответ:

Отрицательное значение скалярного произведения констатирует тот факт, что угол между векторами является тупым.

Задача типовая, вот пример для самостоятельного решения:

Пример 4

Найти скалярное произведение векторов и , если известно, что .

Теперь ещё одно распространённое задание, как раз на новую формулу длины вектора . Обозначения тут будут немного совпадать, поэтому для ясности я перепишу её с другой буквой:

Пример 5

Найти длину вектора , если .

Решение будет следующим:

(1) Поставляем выражение вектора .

(2) Используем формулу длины: , при этом в качестве вектора «вэ» у нас выступает целое выражение .

(3) Используем школьную формулу квадрата суммы . Обратите внимание, как она здесь любопытно работает: – фактически это квадрат разности, и, по сути, так оно и есть. Желающие могут переставить векторы местами: – получилось то же самое с точностью до перестановки слагаемых.

(4) Дальнейшее уже знакомо из двух предыдущих задач.

Ответ:

Коль скоро речь идёт о длине, не забываем указать размерность – «единицы».

Пример 6

Найти длину вектора , если .

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Продолжаем выжимать полезные вещи из скалярного произведения. Снова посмотрим на нашу формулу . По правилу пропорции сбросим длины векторов в знаменатель левой части:

А части поменяем местами:

В чём смысл данной формулы? Если известны длины двух векторов и их скалярное произведение, то можно вычислить косинус угла между данными векторами, а, следовательно, и сам угол.

Скалярное произведение – это число? Число. Длины векторов – числа? Числа. Значит, дробь тоже является некоторым числом . А если известен косинус угла: , то с помощью обратной функции легко найти и сам угол: .

Пример 7

Найти угол между векторами и , если известно, что .

Решение: Используем формулу:

На заключительном этапе вычислений использован технический приём – устранение иррациональности в знаменателе. В целях устранения иррациональности я домножил числитель и знаменатель на .

Итак, если , то:

Значения обратных тригонометрических функций можно находить по тригонометрической таблице . Хотя случается это редко. В задачах аналитической геометрии значительно чаще появляется какой-нибудь неповоротливый медведь вроде , и значение угла приходится находить приближенно, используя калькулятор. Собственно, такую картину мы ещё неоднократно увидим.

Ответ:

Опять, не забываем указывать размерность – радианы и градусы. Лично я, чтобы заведомо «снять все вопросы», предпочитаю указывать и то, и то (если по условию, конечно, не требуется представить ответ только в радианах или только в градусах).

Теперь вы сможете самостоятельно справиться с более сложным заданием:

Пример 7*

Даны – длины векторов , и угол между ними . Найти угол между векторами , .

Задание даже не столько сложное, сколько многоходовое.
Разберём алгоритм решения:

1) По условию требуется найти угол между векторами и , поэтому нужно использовать формулу .

2) Находим скалярное произведение (см. Примеры № 3, 4).

3) Находим длину вектора и длину вектора (см. Примеры № 5, 6).

4) Концовка решения совпадает с Примером № 7 – нам известно число , а значит, легко найти и сам угол:

Краткое решение и ответ в конце урока.

Второй раздел урока посвящен тому же скалярному произведению. Координаты. Будет даже проще, чем в первой части.

Скалярное произведение векторов,
заданных координатами в ортонормированном базисе

Ответ:

Что и говорить, иметь дело с координатами значительно приятнее.

Пример 14

Найти скалярное произведение векторов и , если

Это пример для самостоятельного решения. Здесь можно использовать ассоциативность операции, то есть не считать , а сразу вынести тройку за пределы скалярного произведения и домножить на неё в последнюю очередь. Решение и ответ в конце урока.

В заключение параграфа провокационный пример на вычисление длины вектора:

Пример 15

Найти длины векторов , если

Решение: снова напрашивается способ предыдущего раздела: , но существует и другая дорога:

Найдём вектор :

И его длину по тривиальной формуле :

Скалярное произведение здесь вообще не при делах!

Как не при делах оно и при вычислении длины вектора :
Стоп. А не воспользоваться ли очевидным свойством длины вектора? Что можно сказать о длине вектора ? Данный вектор длиннее вектора в 5 раз. Направление противоположно, но это не играет роли, ведь разговор о длине. Очевидно, что длина вектора равна произведению модуля числа на длину вектора :
– знак модуля «съедает» возможный минус числа .

Таким образом:

Ответ:

Формула косинуса угла между векторами, которые заданы координатами

Теперь у нас есть полная информация, чтобы ранее выведенную формулу косинуса угла между векторами выразить через координаты векторов :

Косинус угла между векторами плоскости и , заданными в ортонормированном базисе , выражается формулой :
.

Косинус угла между векторами пространства , заданными в ортонормированном базисе , выражается формулой :

Пример 16

Даны три вершины треугольника . Найти (угол при вершине ).

Решение: По условию чертёж выполнять не требуется, но всё-таки:

Требуемый угол помечен зелёной дугой. Сразу вспоминаем школьное обозначение угла: – особое внимание на среднюю букву – это и есть нужная нам вершина угла. Для краткости можно было также записать просто .

Из чертежа совершенно очевидно, что угол треугольника совпадает с углом между векторами и , иными словами: .

Проведённый анализ желательно научиться выполнять мысленно.

Найдём векторы:

Вычислим скалярное произведение:

И длины векторов:

Косинус угла:

Именно такой порядок выполнения задания рекомендую чайникам. Более подготовленные читатели могут записывать вычисления «одной строкой»:

Вот и пример «плохого» значения косинуса. Полученное значение не является окончательным, поэтому нет особого смысла избавляться от иррациональности в знаменателе.

Найдём сам угол:

Если посмотреть на чертёж, то результат вполне правдоподобен. Для проверки угол также можно измерить и транспортиром. Не повредите покрытие монитора =)

Ответ:

В ответе не забываем, что спрашивалось про угол треугольника (а не про угол между векторами), не забываем указать точный ответ: и приближенное значение угла: , найденное с помощью калькулятора.

Те, кто получил удовольствие от процесса, могут вычислить углы , и убедиться в справедливости канонического равенства

Пример 17

В пространстве задан треугольник координатами своих вершин . Найти угол между сторонами и

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока

Небольшой заключительный раздел будет посвящен проекциям, в которых тоже «замешано» скалярное произведение:

Проекция вектора на вектор. Проекция вектора на координатные оси.
Направляющие косинусы вектора

Рассмотрим векторы и :

Спроецируем вектор на вектор , для этого из начала и конца вектора опустим перпендикуляры на вектор (зелёные пунктирные линии). Представьте, что на вектор перпендикулярно падают лучи света. Тогда отрезок (красная линия) будет «тенью» вектора . В данном случае проекцией вектора на вектор является ДЛИНА отрезка . То есть, ПРОЕКЦИЯ – ЭТО ЧИСЛО.

Данное ЧИСЛО обозначается следующим образом: , «большим вектором» обозначают вектор КОТОРЫЙ проецируют, «маленьким подстрочным вектором» обозначают вектор НА который проецируют.

Сама запись читается так: «проекция вектора «а» на вектор «бэ»».

Что произойдёт, если вектор «бэ» будет «слишком коротким»? Проводим прямую линию, содержащую вектор «бэ». И вектор «а» будет проецироваться уже на направление вектора «бэ» , попросту – на прямую, содержащую вектор «бэ». То же самое произойдёт, если вектор «а» отложить в тридесятом царстве – он всё равно легко спроецируется на прямую, содержащую вектор «бэ».

Если угол между векторами острый (как на рисунке), то

Если векторы ортогональны , то (проекцией является точка, размеры которой считаются нулевыми).

Если угол между векторами тупой (на рисунке мысленно переставьте стрелочку вектора ), то (та же длина, но взятая со знаком минус).

Отложим данные векторы от одной точки:

Очевидно, что при перемещении вектора его проекция не меняется

Таким образом, длина вектора рассчитывается, как корень квадратный из суммы квадратов его координат
. Аналогично рассчитывается длинаn-мерного вектора
. Если вспомнить, что каждая координата вектора – это разность между координатами конца и начала, то мы получим формулу длины отрезка, т.е. евклидова расстояния между точками.

Скалярное произведение двух векторов на плоскости – это произведение длин этих векторов на косинус угла между ними:
. Можно доказать, что скалярное произведение двух векторов= (х 1 , х 2) и= (y 1 , y 2) равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов:
= х 1 * y 1 + х 2 * y 2 .

В n-мерном пространстве скалярное произведение векторовX= (х 1 , х 2 ,...,х n) иY= (y 1 , y 2 ,...,y n) определяется, как сумма произведений их соответствующих координат:X*Y= х 1 * y 1 + х 2 * y 2 + ... + х n * y n .

Операция умножения векторов друг на другу аналогична умножению матрицы-строки на матрицу-столбец. Подчеркнем, что в результате будет получено число, а не вектор.

Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами (аксиомы):

1) Коммутативное свойство: X*Y=Y*X.

2) Дистрибутивное относительно сложения свойство: X(Y+Z) =X*Y+X*Z.

3) Для любого действительного числа 
.

4)
, еслиX– не нулевой вектор;
еслиX– нулевой вектор.

Линейное векторное пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее четырем соответствующим аксиомам, называется евклидовым линейным векторным пространством .

Легко заметить, что при умножении любого вектора самого на себя мы получим квадрат его длины . Поэтому по-другомудлину вектора можно определить, как корень квадратный из его скалярного квадрата:.

Длина вектора обладает следующими свойствами:

1) |X| = 0Х = 0;

2) |X| = ||*|X|, где– действительное число;

3) |X*Y||X|*|Y| (неравенство Коши-Буняковского );

4) |X+Y||X|+|Y| (неравенство треугольника ).

Угол между векторами вn-мерном пространстве определяется, исходя из понятия скалярного произведения. В самом деле, если
, то
. Эта дробь не больше единицы (согласно неравенству Коши-Буняковского), поэтому отсюда можно найти.

Два вектора называют ортогональными илиперпендикулярными , если их скалярное произведение равно нулю. Из определения скалярного произведения следует, что нулевой вектор ортогонален любому вектору. Если оба ортогональных вектора ненулевые, то обязательноcos= 0, т.е=/2 = 90 о.

Рассмотрим еще раз рисунок 7.4. Из рисунка видно, что косинус угла наклона вектора к горизонтальной оси можно рассчитать как
, а косинус угланаклона вектора к вертикальной оси как
. Эти числа принято называтьнаправляющими косинусами . Легко убедиться, что сумма квадратов направляющих косинусов всегда равна единице:cos 2 +cos 2 = 1. Аналогично можно ввести понятия направляющих косинусов и для пространств большей размерности.

Базис векторного пространства

Для векторов можно определить понятия линейной комбинации ,линейной зависимости инезависимости аналогично тому, как эти понятия были введены для строк матрицы. Также справедливо, что если векторы линейно зависимы, то по крайней мере один из них можно линейно выразить через остальные (т.е. он является их линейной комбинацией). Верно и обратное утверждение: если один из векторов является линейной комбинацией остальных, то все эти векторы в совокупности линейно зависимы.

Отметим, что если среди векторов a l , a 2 ,...a m есть нулевой вектор, то эта совокупность векторов обязательно линейно зависима. В самом деле, мы получим l a l + 2 a 2 +...+ m a m = 0, если, например, приравняем коэффициент j при нулевом векторе к единице, а все остальные коэффициенты – к нулю. При этом не все коэффициенты будут равны нулю ( j ≠ 0).

Кроме того, если какая-то часть векторов из совокупности векторов линейно зависимы, то и все эти вектора - линейно зависимы. В самом деле, если какие-то вектора дают нулевой вектор в своей линейной комбинации с коэффициентами, которые не являются одновременно нулевыми, то к этой сумме произведений можно добавить остальные вектора, умноженные на нулевые коэффициенты, и она по-прежнему будет нулевым вектором.

Как определить, являются ли вектора линейно зависимыми?

Например, возьмем три вектора: а 1 = (1, 0, 1, 5), а 2 = (2, 1, 3, -2) и а 3 = (3, 1, 4, 3). Составим из них матрицу, в которой они будут являться столбцами:

Тогда вопрос о линейной зависимости сведется к определению ранга этой матрицы. Если он окажется равным трем, то все три столбца – линейно независимы, а если окажется меньше, то это будет говорить о линейной зависимости векторов.

Так как ранг равен 2, вектора линейно зависимы.

Отметим, что решение задачи можно было бы начать и с рассуждений, которые основаны на определении линейной независимости. А именно, составить векторное уравнение  l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, которое примет вид l *(1, 0, 1, 5) + 2 *(2, 1, 3, -2) + 3 *(3, 1, 4, 3) = (0, 0, 0, 0). Тогда мы получим систему уравнений:

Решение этой системы методом Гаусса сведется к получению той же самой ступенчатой матрицы, только в ней будет еще один столбец – свободных членов. Они все будут равны нулю, так как линейные преобразования нулей не могут привести к другому результату. Преобразованная система уравнений примет вид:

Решением этой системы будет (-с;-с; с), где с – произвольное число; например, (-1;-1;1). Это означает, что если взять  l = -1; 2 =-1 и 3 = 1, то l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, т.е. вектора на самом деле линейно зависимы.

Из решенного примера становится ясно, что если взять число векторов больше, чем размерность пространства, то они обязательно будут линейно зависимы. В самом деле, если бы в этом примере мы взяли пять векторов, то получили бы матрицу 4 х 5, ранг которой не мог бы оказаться больше четырех. Т.е. максимальное число линейно независимых столбцов все равно не было бы больше четырех. Два, три или четыре четырехмерных вектора могут оказаться линейно независимыми, а пять и больше – не могут. Следовательно, на плоскости могут оказаться линейно независимыми не более двух векторов. Любые три вектора в двумерном пространстве – линейно зависимы. В трехмерном пространстве любые четыре (или более) вектора – всегда линейно зависимы. И т.п.

Поэтому размерность пространства можно определить, как максимальное число линейно независимых векторов, которые могут в нем быть.

Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства R называют базисом этого пространства.

Теорема. Каждый вектор линейного пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса, и притом единственным способом.

Доказательство. Пусть векторы e l , e 2 ,...e n образуют базисn-мерного пространства R. Докажем, что любой вектор Х является линейной комбинацией этих векторов. Поскольку вместе с вектором Х число векторов станет (n +1), эти (n +1) векторов будут линейно зависимы, т.е. существуют числа l , 2 ,..., n ,, не равные одновременно нулю, такие что

 l e l + 2 e 2 +...+ n e n +Х = 0

При этом 0, т.к. в противном случае мы получили бы l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0, где не все коэффициенты l , 2 ,..., n равны нулю. Это означает, что векторы базиса оказались бы линейно зависимы. Следовательно, можно разделить обе части первого уравнения на:

( l /)e l + ( 2 /)e 2 +...+ ( n /)e n + Х = 0

Х = -( l /)e l - ( 2 /)e 2 -...- ( n /)e n

Х = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n ,

где х j = -( j /),
.

Теперь докажем, что такое представление в виде линейной комбинации является единственным. Предположим противное, т.е. что существует другое представление:

Х = y l e l +y 2 e 2 +...+y n e n

Вычтем из него почленно полученное ранее выражение:

0 = (y l – х 1)e l + (y 2 – х 2)e 2 +...+ (y n – х n)e n

Так как векторы базиса линейно независимы, получим, что (y j - х j) = 0,
, т.е.y j = х j . Итак, выражение оказалось тем же самым. Теорема доказана.

Выражение Х = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n называютразложением вектора Х по базису e l , e 2 ,...e n , а числа х l , х 2 ,...х n -координатами вектора х относительно этого базиса, или в этом базисе.

Можно доказать, что если nненулевых векторовn-мерного евклидова пространства попарно ортогональны, то они образуют базис. В самом деле, умножим обе части равенства l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0 на любой вектор е i . Получим  l (e l *е i) +  2 (e 2 *е i) +...+  n (e n *е i) = 0   i (e i *е i) = 0   i = 0 для  i.

Векторы e l , e 2 ,...e n n-мерного евклидова пространства образуютортонормированный базис , если эти векторы попарно ортогональны и норма каждого из них равна единице, т.е. если е i *e j = 0 приi≠jи |е i | = 1 дляi.

Теорема (без доказательства). Во всяком n-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Примером ортонормированного базиса являют система n единичных векторов е i , у которыхi-я компонента равна единице, а остальные компоненты равны нулю. Каждый такой вектор называетсяорт . Например, вектора-орты (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1) образуют базис трехмерного пространства.