Взаимное расположение поверхностей в пространстве. Плоскость в пространстве – необходимые сведения

Опр. Две плоскости в пространстве называются параллельными, если они не пересекаются, в противном случаи они пересекаются.

Теорема1: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Доказательство:

Пусть и - данные плоскости, а1 и а2 - прямые в плоскости, пересекающиеся в точке А, в1 и в2 - соответственно параллельные им прямые в

плоскости. Допустим, что плоскости и не параллельны, т.е. пересекаются по некоторой прямой с. По теореме прямые а1 и а2, как параллельные прямым в1и в2, параллельны плоскости, и поэтому они не

пересекают лежащую в этой плоскости прямую с. Таким образом, в плоскости через точку А проходят две прямые (а1 и а2) , параллельные прямой с. Но это невозможно по аксиоме параллельных. Мы пришли к противоречию ЧТД.

Перпендикулярные плоскости: Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.

Теорема2: Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Доказательство:

Пусть - плоскость, в -перпендикулярная ей прямая, - плоскость, проходящая через прямую в, с - прямая, по которой пересекаются плоскости и. Докажем, что плоскости и перпендикулярны. Проведем в плоскости через точку пересечения прямой в с плоскостью прямую а,

перпендикулярную прямой с. Проведем через прямые а и в плоскость. Она перпендикулярна прямой с, т.к. прямая с перпендикулярна прямым а и в. Т. к. прямые а и в перпендикулярны, то плоскости и перпендикулярны. ч.т.д.

42. Нормальное уравнение плоскости и его свойства

Нормальное (нормированное) уравнение плоскости

в векторной форме:

где - единичный вектор,- расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель

(знаки ипротивоположны).

43. Уравнения прямой линии в пространстве: Общие уравнения, каноничекие и параметрические уравнения.

Канонические уравнения:

Выведем уравнение прямой, проходящей через данную точку и параллельную данному направляющему вектору. Заметим, что точкалежит на этой прямой тогда и только тогда, когда векторыиколлинеарны. Это означает, что координаты этих векторов пропорциональны:

Эти уравнения называют каноническими. Заметим, что одна или две координаты направляющего вектора могут оказаться равными нулю. Но мы воспринимаем это как пропорцию: мы понимаем как равенство.

Общие уравнения:

(A1x+B1y+C1z+D1=0

(A2x+B2y+C2z+D2=0

Где коэффиценты А1-С1 не пропорциональны A2-C2,что равносильно ее заданию как линии пересечения плоскостей

Параметрические:

Откладывая от точки векторыдля различных значений, коллинеарные направляющему вектору, мы будем получать на конце отложенных векторов различные точки нашей прямой. Из равенстваследует:

Переменную величину называют параметром. Поскольку для любой точки прямой найдется соответствующее значение параметра и поскольку различным значениям параметра соответствуют различные точки прямой, то существует взаимно однозначное соответствие между значениями параметра и точками прямой. Когда параметрпробегает все действительные числа отдо, соответствующая точкапробегает всю прямую.

44. Понятие линейного пространства. Аксиомы. Примеры линейных пространств

Пример линейного пространства – множество всех геометрических векторов.

Линейное , иливекторное пространство надполемP - этонепустое множествоL , на котором введеныоперации

сложения, то есть каждой паре элементов множества ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемыйи

умножения на скаляр(то есть элемент поляP ), то есть любому элементу и любому элементуставится в соответствие элемент из, обозначаемый.

При этом на операции накладываются следующие условия:

Для любых (коммутативность сложения );

Для любых (ассоциативность сложения );

существует такой элемент , чтодля любого(существование нейтрального элемента относительно сложения ), в частности L не пусто;

для любого существует такой элемент, что(существование противоположного элемента ).

(ассоциативность умножения на скаляр );

(умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор ).

(дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров );

(дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов ).

Элементы множества L называютвекторами , а элементы поляP -скалярами . Свойства 1-4 совпадают с аксиомами абелевой группы.

Простейшие свойства

Векторное пространство является абелевой группойпо сложению.

Нейтральный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.

для любого .

Для любого противоположный элементявляется единственным, что вытекает из групповых свойств.

для любого .

для любых и.

для любого .

Элементы линейного пространства называются векторами. Пространство называется действительным, если в нем оперция умножения векторов на число определена только для действительных числе, и комплексным, если эта оперкция определана только для комплексных чисел.

45. Базис и размерност линейного прорстранства, связь между ними.

Конечная сумма вида

называется линейной комбинацией элементов с коэффициентами.

Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.

Элементы называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная θ. В противном случае эти элементы называются линейно независимыми.

Бесконечное подмножество векторов из L называется линейно зависимым, если линейно зависимо его некоторое конечное подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.

Число элементов (мощность) максимального линейно независимого подмножества пространства не зависит от выбора этого подмножества и называется рангом, или размерностью, пространства, а само это подмножество - базисом(базисом Га́меля или линейным базисом). Элементы базиса также называют базисными векторами. Свойства базиса:

Любые n линейно независимых элементов n-мерного пространства образуют базис этого пространства.

Любой вектор можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:

46. Координты вектора в данном базисе. Линейные операции с векторами в координатной форме

п.4. Линейные операции с векторами в координатной форме записи.

Пусть – базиспространстваи– два его произвольных вектора. Пустьи–записьэтихвектороввкоординатнойформе. Пусть, далее,– произвольное действительное число. В этих обозначениях имеет место следующая теорема.

Теорема. (О линейных операциях с векторами в координатнойформе.)

Пусть Ln – произвольное n-мерное пространство, B = (e1,….,en) - фиксированный базис в нем. Тогда всякому вектору x пренадлежащему Ln взаимно однозначно соответствует столбец его координат в этом базисе.

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ.

Две плоскости в пространстве могут располагаться либо параллельно друг другу, либо пересекаться.

Параллельные плоскости . В проекциях с числовыми отметками признаком параллельности плоскостей на плане служит параллельность их горизонталей, равенство заложений и совпадение направлений падения плоскостей: пл. S || пл. L - h S || h L , l S = l L , пад. I. (рис.3.11).

В геологии плоское однородное тело, сложенное какой-либо породой, называют слоем. Слой ограничен двумя поверхностями, верхнюю из которых называют кровлей, а нижнюю – подошвой. В случае если слой рассматривается на сравнительно небольшой протяженности, то кровлю и подошву приравнивают к плоскостям, получая в пространстве геометрическую модель двух параллельных наклонных плоскостей.

Плоскость S - кровля, а плоскость L - подошва слоя (рис.3.12, а ). В геологии кратчайшее расстояние между кровлей и подошвой называют истинной мощностью (на рис.3.12, а истинная мощность обозначена буквой H). Помимо истинной мощности, в геологии используют и другие параметры слоя горной породы: вертикальную мощность – H в, горизонтальную мощность – L, видимую мощность – H вид. Вертикальной мощностью в геологии называют расстояние от кровли до подошвы слоя, измеренное по вертикали. Горизонтальная мощность слоя есть кратчайшее расстояние между кровлей и подошвой, измеренное в горизонтальном направлении. Видимая мощность – кратчайшее расстояние между видимым падением кровли и подошвы (видимым падением называют прямолинœейное направление на структурной плоскости, т. е. прямую, принадлежащую плоскости). Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, видимая мощность всœегда больше истинной. Следует отметить, что у горизонтально залегающих слоев истинная мощность, вертикальная и видимая совпадают.

Рассмотрим прием построения параллельных плоскостей S и L, отстоящих друг от друга на заданном расстоянии (рис.3.12, б ).

На плане пересекающимися прямыми m и n задана плоскость S. Необходимо построить плоскость L, параллельную плоскости S и отстоящую от нее на расстоянии 12 м (т. е. истинная мощность – H = 12 м). Плоскость L расположена под плоскостью S (плоскость S - кровля слоя, плоскость L - подошва).

1) Плоскость S задают на плане проекциями горизонталей.

2) На масштабе заложений строят линию падения плоскости S - u S . На перпендикуляре к линии u S откладывают заданное расстояние 12 м (истинную мощность слоя H). Ниже линии падения плоскости S и параллельно ей проводят линию падения плоскости L - u L . Определяют расстояние между линиями падения обеих плоскостей в горизонтальном направлении, т. е. горизонтальную мощность слоя L.

3) Отложив на плане горизонтальную мощность от горизонтали h S , параллельно ей проводят горизонталь плоскости L с той же числовой отметкой h L . Следует обратить внимание на то, что если плоскость L расположена под плоскостью S, то горизонтальную мощность следует откладывать в направлении восстания плоскости S.

4) Исходя из условия параллельности двух плоскостей, на плане проводят горизонтали плоскости L.

Пересекающиеся плоскости . Признаком пересечения двух плоскостей обычно служит параллельность на плане проекций их горизонталей. Линию пересечения двух плоскостей в данном случае определяют точками пересечения двух пар одноименных (имеющих одинаковые числовые отметки) горизонталей (рис.3.13): ; . Соединив полученные точки N и M прямой m , определяют проекцию искомой линии пересечения. В случае если плоскость S (A, B, C) и L(mn) заданы на плане не горизонталями, то для построения их линии пересечения t крайне важно построить две пары горизонталей с одинаковыми числовыми отметками, которые в пересечении и определят проекции точек R и F искомой прямой t (рис.3.14). На рис.3.15 представлен случай, когда у двух пересекающихся

плоскостей S и L горизонтали параллельны. Линией пересечения таких плоскостей будет горизонтальная прямая h . Стоит сказать, что для нахождения точки A, принадлежащей этой прямой, проводят произвольную вспомогательную плоскость T, которая пересекает плоскости S и L. Плоскость T пересекает плоскость S по прямой а (C 1 D 2), а плоскость L - по прямой b (K 1 L 2).

Точка пересечения прямых а и b , принадлежащих соответственно плоскостям S и L, будет общей для этих плоскостей: =А. Отметку точки А можно определить, проинтерполировав прямые a и b . Остается провести через A горизонтальную прямую h 2,9 , которая и является линией пересечения плоскостей S и L.

Рассмотрим еще один пример (рис.3.16) построения линии пересечения наклонной плоскости S с вертикальной плоскостью Т. Искомая прямая m определяется точками A и B, в которых горизонтали h 3 и h 4 плоскости S пересекают вертикальную плоскостью T. Из чертежа видно, что проекция линии пересечения совпадает с проекцией вертикальной плоскости: m º T. В решении геологоразведочных задач сечение одной или группы плоскостей (поверхностей) вертикальной плоскостью принято называть разрезом. Построенную в рассматриваемом примере дополнительную вертикальную проекцию прямой m называют профилем разреза, выполненного плоскостью T по заданному направлению.

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ. - понятие и виды. Классификация и особенности категории "ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ." 2017, 2018.

№_____ Дата 02.10.14

Предмет Геометрия

Класс 10

Тема урока: Взаимное расположение двух плоскостей. Признак параллельности плоскостей

Цели урока: познакомить с понятием параллельности плоскостей, изучить признак параллельности плоскости и свойства параллельных плоскостей

Тип урока: изучения нового материала

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

Приветствие учащихся, проверка готовности класса к уроку, организация внимания учащихся, раскрытие общих целей урока и плана его проведения.

2. Формирование новых понятий и способов действия.

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек, т.е. если α = α (рис. 20).

Теорема 1. Через точку, не лежащую в плоскости, можно провести только одну плоскость, параллельную данной плоскости.

Доказательство. Пусть даны плоскость а и точка А, А а . В плоскости а возьмем две пересекающиеся прямые а и b : а , b , а = В (рис.21.) Тогда по теореме 1 (§2, п.2.1.) через точку А можно провести прямые а 1 и b 1 такие, что а 1 || а и b 1 || b Отсюда по аксиоме CIII существует единственная плоскость , проходящая через пересекающиеся прямые а 1 и b 1 . Теперь остается показать, что α , т.е. α = .

Пусть это не так, т.е. плоскости пересекаются по прямой с. Тогда по меньшей мере одна из прямых а или b не параллельна прямой с. Для определенности положим, что а с и а с = С.

Следовательно, a 1 с и также, как при доказательстве теоремы 2 из §2, имеем a 1 с= С, т.е. а 1 а = С.

Это противоречит тому, что а, || а . Поэтому α = α . Теорема доказана.

Теорема 2. Если пересечь две параллельные плоскости третьей плоскостью, то прямые их пересечения будут параллельными, т.е α , а = α , b = => а || b (рис. 22 ).

Итак, две плоскости в пространстве могут взаимно располагаться в двух вариантах:

плоскости пересекаются по прямой;

плоскости параллельны.

Признак параллельности плоскостей

Теорема 3. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Теорема 4. Отрезки параллельных прямых, ограниченных параллельными плоскостями, равны, между собой.

3. Применение. Формирование умений и навыков.

Задачи: Обеспечить применение учащимися знаний и способов действий, которые им необходимы для СР, создать условия для выявления школьниками индивидуальных способов применения изученного. Стр 24 №87,88,89,90(1)

4.Этап информации о домашнем задании.

Задачи: Обеспечить понимание учащимися цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.стр.22 п3 №90(2)

5.Подведение итогов урока.

Задача: Дать качественную оценку работы класса и отдельных учащихся.

6.Этап рефлексии.

Пусть даны две плоскости

Первая плоскость имеет нормальный вектор (А 1 ;В 1 ;С 1), вторая плоскость (А 2 ;В 2 ;С 2).

Если плоскости параллельны, то векторы и коллинеарны, т.е. = l для некоторого числа l. Поэтому

─ условие параллельности плоскости.

Условие совпадения плоскостей:

,

так как в этом случае умножая второе уравнение на l = , получим первое уравнение.

Если условие параллельности не выполняется, то плоскости пересекаются. В частности, если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и векторы , . Поэтому их скалярное произведение равно 0, т.е. = 0, или

А 1 А 2 + В 1 В 2 + С 1 С 2 = 0.

Это необходимое и достаточное условие перпендикулярности плоскостей.

Угол между двумя плоскостями.

Угол между двумя плоскостями

А 1 х + В 1 у +С 1 z + D 1 = 0,

А 2 х + В 2 у +С 2 z + D 2 = 0

это угол между их нормальными векторами и , поэтому

cosj = =
.

Прямая в пространстве.

Векторно-параметрическое уравнение прямой.

Определение. Направляющим вектором прямой называется любой вектор, лежащий на прямой или параллельный ей.

Составим уравнение прямой, проходящей через точку М 0 (х 0 ;у 0 ;z 0) и имеющей направляющий вектор = (а 1 ;а 2 ;а 3).

Отложим из точки М 0 вектор . Пусть М(х;у;z) ─ произвольная точка данной прямой, а ─ её радиус- вектор точки М 0 . Тогда , , поэтому . Это уравнение называется векторно-параметрическим уравнением прямой.

Параметрические уравнения прямой.

В векторно-параметрическом уравнении прямой перейдёт к координатным соотношениям (х;у;z) = (х 0 ;у 0 ;z 0) + (а 1 ;а 2 ;а 3)t. Отсюда получаем параметрические уравнения прямой

х = х 0 + а 1 t,

у = у 0 +а 2 t, (4)

Канонические уравнения прямой.

Из уравнений (4) выразим t:

t = , t = , t = ,

откуда получаем канонические уравнения прямой

= = (5)

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Пусть даны две точки М 1 (х 1 ;у 1 ;z 1) и М 2 (х 2 ;у 2 ;z 2). В качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор = (х 2 – х 1 ;у 2 – у 1 ;z 2 – z 1). Поскольку прямая проходит через точка М 1 (х 1 ;у 1 ;z 1), то её канонические уравнения в соответствии с (5) запишутся в виде

(6)

Угол между двумя прямыми.

Рассмотрим две прямые с направляющими векторами = (а 1 ;а 2 ;а 3) и .

Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами, поэтому

cosj = =
(7)

Условие перпендикулярности прямых:

а 1 в 1 + а 2 в 2 + а 3 в 3 = 0.

Условие параллельности прямых:

l,

. (8)

Взаимное расположение прямых в пространстве.

Пусть даны две прямые
и
.

Очевидно, что прямые лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы , и компланарны, т.е.

= 0 (9)

Если в (9) первые две строки пропорциональны, то прямые параллельны. Если все три строки пропорциональны, то прямые совпадают. Если условие (9) выполнено и первые две строки не пропорциональны, то прямые пересекаются.

Если же
¹ 0, то прямые являются скрещивающимися.

Задачи на прямую и плоскость в пространстве.

Прямая как пересечение двух плоскостей.

Пусть заданы две плоскости

А 1 х + В 1 у +С 1 z + D 1 = 0,

А 2 х + В 2 у +С 2 z + D 2 = 0

Если плоскости не являются параллельными, то нарушается условие

.

Пусть, например ¹ .

Найдём уравнение прямой, по которой пересекаются плоскости.

В качестве направляющего вектора искомой прямой можно взять вектор

= × = =
.

Чтобы найти точку, принадлежащую искомой прямой, фиксируем некоторое значение

z = z 0 и решая систему

,

получаем значения х = х 0 , у = у 0 . Итак, искомая точка М(х 0 ;у 0 ;z 0).

Искомое уравнение

.

Взаимное расположение прямой и плоскости.

Пусть задана прямая х = х 0 + а 1 t, y = y 0 + a 2 t, z = z 0 + a 3 t

и плоскость

А 1 х + В 1 у +С 1 z + D 1 = 0.

Чтобы найти общие точки прямой и плоскости, необходимо решить систему их уравнений

А 1 (х 0 + а 1 t) + B 1 (y 0 + a 2 t) + C 1 (z 0 + a 3 t) + D 1 = 0,

(A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3)t + (A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1) = 0.

Если А 1 а 1 + В 1 а 2 + С 1 а 3 ¹ 0, то система имеет единственное решение

t = t 0 = -
.

В этом случае прямая и плоскость пересекаются в единственной точке М 1 (х 1 ;у 1 ;z 1), где

х 1 = х 0 + а 1 t 0 , y 1 = y 0 + a 2 t 0 , z 1 = z 0 + a 3 t 0 .

Если А 1 а 1 + В 1 а 2 + С 1 а 3 = 0, А 1 x 0 + В 1 y 0 + С 1 z 0 + D 1 ¹ 0, то прямая и плоскость не имеет общих точек, т.е. параллельны.

Если же А 1 а 1 + В 1 а 2 + С 1 а 3 = 0, А 1 x 0 + В 1 y 0 + С 1 z 0 + D 1 = 0, то прямая принадлежит плоскости.

Угол между прямой и плоскостью.

Две плоскости в пространстве могут быть либо взаимно параллельны, в частном случае совпадая друг с другом, либо пересекаться. Взаимно перпендикулярные плоскости представляют собой частный случай пересекающихся плоскостей.

1. Параллельные плоскости. Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Это определение хорошо иллюстрируется задачей, через точку В провести плоскость параллельную плоскости, заданной двумя пересекающимися прямыми ab (рис.61).

Задача. Дано: плоскость общего положения, заданную двумя пересекающимися прямыми ab и точка В.

Требуется через точку В провести плоскость, параллельную плоскости ab и задать её двумя пересекающимися прямыми c и d.

Согласно определения если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости то эти плоскости параллельны между собой.

Для того чтобы провести на эпюре параллельные прямые необходимо воспользоваться свойством параллельного проецирования - проекции параллельных прямых - параллельны между собой

d//a, с//b Þ d1//a1,с1//b1; d2//a2 ,с2//b2; d3//a3,с3//b3.

Рисунок 61. Параллельные плоскости

2. Пересекающиеся плоскости, частный случай – взаимно перпендикулярные плоскости. Линия пересечения двух плоскостей является прямая, для построения которой достаточно определить две её точки, общие обеим плоскостям, либо одну точку и направление линии пересечения плоскостей.

Рассмотрим построение линии пересечения двух плоскостей, когда одна из них проецирующая (рис.62).

Задача. Дано: плоскость общего положения задана треугольником АВС, а вторая плоскость - горизонтально проецирующая a.

Требуется построить линию пересечения плоскостей.

Решение задачи заключается в нахождении двух точек общих для данных плоскостей, через которые можно провести прямую линию. Плоскость, заданная треугольником АВС можно представить, как прямые линии (АВ), (АС), (ВС). Точка пересечения прямой (АВ) с плоскостью a - точка D, прямой (AС) -F. Отрезок определяет линию пересечения плоскостей. Так как a - горизонтально проецирующая плоскость, то проекция D1F1 совпадает со следом плоскости aП1, таким образом остается только построить недостающие проекции на П2 и П3.

Рисунок 62. Пересечение плоскости общего положения с горизонтально проецирующей плоскостью

Перейдем к общему случаю. Пусть в пространстве заданы две плоскости общего положения a(m,n) и b (ABC) (рис.63)

Рисунок 63. Пересечение плоскостей общего положения

Рассмотрим последовательность построения линии пересечения плоскостей a(m//n) и b(АВС). По аналогии с предыдущей задачей для нахождения линии пересечения данных плоскостей проведем вспомогательные секущие плоскости g и d. Найдем линии пересечения этих плоскостей с рассматриваемыми плоскостями. Плоскость g пересекает плоскость a по прямой (12), а плоскость b - по прямой (34). Точка К - точка пересечения этих прямых одновременно принадлежит трем плоскостям a, b и g, являясь таким образом точкой принадлежащей линии пересечения плоскостей a и b. Плоскость d пересекает плоскости a и b по прямым (56) и (7C) соответственно, точка их пересечения М расположена одновременно в трех плоскостях a, b, d и принадлежит прямой линии пересечения плоскостей a и b. Таким образом найдены две точки принадлежащие линии пересечения плоскостей a и b - прямая (КМ).

Некоторого упрощения при построении линии пересечения плоскостей можно достичь, если вспомогательные секущие плоскости проводить через прямые, задающие плоскость.

Взаимно перпендикулярные плоскости. Из стереометрии известно, что две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. Через точку А можно провести множество плоскостей перпендикулярных данной плоскости a(f,h). Эти плоскости образуют в пространстве пучок плоскостей, осью которого является перпендикуляр опущенный из точки А на плоскость a . Для того чтобы из точки А провести плоскость перпендикулярную плоскости заданной двумя пересекающимися прямыми hf необходимо из точки А провести прямую n перпендикулярную плоскости hf (горизонтальная проекция n перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали h, фронтальная проекция n перпендикулярна фронтальной проекции фронтали f). Любая плоскость проходящая через прямую n будет перпендикулярна плоскости hf, поэтому для задания плоскости через точки А проводим произвольную прямую m. Плоскость заданная двумя пересекающимися прямыми mn будет перпендикулярна плоскости hf (рис.64).

Рисунок 64. Взаимно перпендикулярные плоскости